Matrizes semelhantes
Em matemática, diz-se que duas matrizes quadradas e são semelhantes se existir uma matriz invertível tal que:
Uma matriz A {\displaystyle A} é dita ser semelhante à matriz B {\displaystyle B} se, e somente se, existe uma matriz M {\displaystyle M} invertível tal que: Observamos que a definição exige que A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} sejam matrizes quadradas de mesma ordem. Pois, caso contrário, a identidade acima não estaria bem definida, ou seja, este conceito de semelhança se aplica apenas a matrizes quadradas.
Relação de equivalência
O conceito de matriz semelhante define uma relação de equivalência, i.e.: 1. Como A = I − 1 A I {\displaystyle A=I^{-1}AI} , temos que A {\displaystyle A} é semelhante a A {\displaystyle A} . 2. Se A = M − 1 B M {\displaystyle A=M^{-1}BM} , então B = N − 1 A N {\displaystyle B=N^{-1}AN} com N = M − 1 {\displaystyle N=M^{-1}} . Ou seja, A {\displaystyle A} é semelhante a B {\displaystyle B} implica B {\displaystyle B} semelhante a A {\displaystyle A} . 3. Se A = M − 1 B M {\displaystyle A=M^{-1}BM} e B = N − 1 C N {\displaystyle B=N^{-1}CN} , então A = P − 1 C P {\displaystyle A=P^{-1}CP} com P = N M {\displaystyle P=NM} . Isto é, A {\displaystyle A} é semelhante a B {\displaystyle B} e B {\displaystyle B} é semelhante a C {\displaystyle C} implica A {\displaystyle A} semelhante a C {\displaystyle C} .
Sejam A e B matrizes semelhantes, então:
Demonstração
Mostraremos que se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} são matrizes semelhantes, então det ( A ) = det ( B ) {\displaystyle \det(A)=\det(B)} . Com efeito, temos que existe uma matriz invertível M {\displaystyle M} tal que A = M − 1 B M {\displaystyle A=M^{-1}BM} . Pelas propriedades do determinante segue que: Mostraremos que se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} são matrizes semelhantes, então A {\displaystyle A} é invertível se, e somente se, B {\displaystyle B} também for. Com efeito, temos que existe uma matriz invertível M {\displaystyle M} tal que A = M − 1 B M {\displaystyle A=M^{-1}BM} , ou equivalentemente, B = M A M − 1 {\displaystyle B=MAM^{-1}} . Suponhamos que A {\displaystyle A} seja invertível. Então, afirmamos que ( M A M − 1 ) − 1 = M A − 1 M − 1 {\displaystyle (MAM^{-1})^{-1}=MA^{-1}M^{-1}} é matriz inversa de B {\displaystyle B} . De fato:
