Combinação linear
Em matemática, uma combinação linear é uma expressão construída a partir de um conjunto de termos, multiplicando cada termo por uma constante. O conceito de combinações lineares é central para a álgebra linear e campos relacionados da matemática. A maior parte deste artigo trata de combinações lineares no contexto de um espaço vetorial sobre um corpo, com algumas generalizações dadas no final do artigo.
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Suponha que K é um corpo (por exemplo, números reais) e V é um espaço vetorial sobre K. Como de costume, chamamos elementos de vetores V e elementos escalares de K. Se v1,...,vn são vetores e a1,...,an são escalares, então a combinação linear desses vetores com estes escalares como coeficientes é: Há alguma ambiguidade no uso do termo "combinação linear" quanto a se refere à expressão ou ao seu valor. Na maioria dos casos, o valor é enfatizado, como na afirmação "o conjunto de todas as combinações lineares de v1,...,vn sempre forma um subespaço". Contudo, também se pode dizer que "duas combinações lineares diferentes podem ter o mesmo valor", caso em que a expressão tenha sido denotada. A diferença sutil entre esses usos, é a essência da noção de dependência linear: uma família F de vetores é linearmente independente precisamente se qualquer combinação linear dos vetores em F (como um valor), é unicamente assim (como expressão). Em qualquer caso, mesmo quando vistos como expressões, tudo o que importa sobre uma combinação linear é o coeficiente de cada vi. Modificações triviais como permutação de termos ou adição de termos com coeficiente zero não dão combinações lineares diferentes.
Vetores euclidianos
Seja o corpo K o conjunto R de números reais, e seja o espaço vetorial V o espaço euclidiano R3. Considere os vetores e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1). Então qualquer vetor em R3 é uma combinação linear de e1, e2 e e3. Para ver que isso é assim, pegue um vetor arbitrário (a1, a2, a3) em R3 e escreva:
Funções
Seja K o conjunto C de todos os números complexos e seja V o conjunto CC(R) de todas as funções contínuas da linha real R ao plano complexo C. Considere os vetores (funções) f e g definidos por f(t) := eit e g(t) := e−it. (Aqui, e é a base do logaritmo natural, cerca de 2.71828 ..., e "i" é a unidade imaginária, uma raiz quadrada de -1). Algumas combinações lineares de f e g são: Por outro lado, a função constante 3 não é uma combinação linear de f e g. Para ver isso, suponha que 3 poderia ser escrito como uma combinação linear de eit e e−it. Isto significa que existiriam escalares complexos a e b tais que aeit + be−it = 3 para todos os números reais t. O ajuste t = 0 e t = π dá as equações a + b = 3 e a + b = −3, e claramente isso não pode acontecer. Veja a identidade de Euler.
Polinômios
Seja K um R, C, ou qualquer corpo, e seja V o conjunto P de todos os polinômios com coeficientes retirados do corpo K. Considere os vetores (polinômios) p1 = 1, p2 = x + 1, e p3 = x2 + x + 1. Para descobrir se o polinômio x2 − 1 é uma combinação linear de p1, p2 e p3, considere uma combinação linear arbitrária desses vetores e tente ver quando é igual ao vetor desejado x2 − 1. Escolhendo coeficientes arbitrários a1, a2, e a3, queremos Multiplicando os polinômios (propriedade distributiva), temos: e agrupando os valores de x, de acordo com o seu grau (propriedades associativas), temos: Dois polinômios são iguais, se e somente se, seus coeficientes correspondentes são iguais. Podemos concluir:
Tome um corpo arbitrário K, um espaço vetorial arbitrário V, e v1,...,vn sejam vetores (em V). É interessante considerar o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Este conjunto é chamado de span linear (ou apenas span) dos vetores, digamos S = {v1, ..., vn}. Nós escrevemos a extensão de S como span (S) ou sp (S):
Para alguns conjuntos de vetores v1,...,vn, um único vetor pode ser escrito de duas maneiras diferentes como uma combinação linear deles: Equivalentemente, ao subtrair ( c i := a i − b i {\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}} ) uma combinação não-trivial é zero: Se há possibilidade, então v1,...,vn são chamados linearmente dependentes. Caso contrário, eles são linearmente independentes. Da mesma forma, podemos falar de dependência linear ou independência de um conjunto arbitrário S de vetores. Se S é linearmente independente e a subconjunto de S é igual a V, então S é uma base para V.
Ao restringir os coeficientes usados em combinações lineares, pode-se definir os conceitos relacionados de combinação afim, combinação cônica e combinação convexa, e as noções associadas de conjuntos fechados sob essas operações. Como estas são operações mais restritas, mais subconjuntos serão fechados sob elas, então subconjuntos afins, cones convexos e conjuntos convexos são generalizações de subespaços vetoriais: um subespaço vetorial é também um subespaço afim, um cone convexo e um conjunto convexo. Mas, um conjunto convexo não precisa ser um subespaço vetorial, afim ou um cone convexo. Estes conceitos surgem frequentemente quando se pode tomar certas combinações lineares de objetos, mas não qualquer: por exemplo, as distribuições de probabilidade são fechadas sob combinação convexa (formam um conjunto convexo), mas não combinações cónicas ou afins (ou lineares) e medidas positivas são fechados sob combinação cônica, mas não afins ou lineares — apenas um define medidas assinadas como o encerramento linear.
Mais abstratamente, na linguagem da teoria operada, pode-se considerar espaços vetoriais como álgebras sobre a operada R ∞ {\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty }} (a soma direta infinita, portanto, apenas finitamente muitos termos não são zero, o que corresponde apenas a tomar somas finitas), que parametriza combinações lineares: o vetor ( 2 , 3 , − 5 , 0 , … ) {\displaystyle (2,3,-5,0,\dots )} , por exemplo, corresponde à combinação linear 2 v 1 + 3 v 2 − 5 v 3 + 0 v 4 + ⋯ {\displaystyle 2v_{1}+3v_{2}-5v_{3}+0v_{4}+\cdots } . Da mesma forma, pode-se considerar combinações afim, combinações cônicas e combinações convexas para corresponder às suboperações onde os termos somam 1, os termos são todos não negativos, ou ambos, respectivamente. Graficamente, esses são o hiperplano afim infinito, o hiperoitante infinito e o simples infinito. Isso formaliza o que se entende por R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} , sendo o padrão simplex espaços modelo, e observações como que cada politopo convexo limitado é a imagem de um simplex. Aqui, os suboperados correspondem a operações mais restritas e, portanto, a teorias mais gerais.
Se V é um espaço vetorial topológico, então pode haver uma maneira de dar sentido a certas combinações lineares infinitas, usando a topologia de V. Por exemplo, podemos ser capazes de falar de a1v1 + a2v2 + a3v3 + ..., indo para sempre. Essas infinitas combinações lineares nem sempre fazem sentido. Nós os chamamos convergentes quando o fazem. Permitir combinações mais lineares neste caso também pode levar a um conceito diferente de extensão, independência linear e base. Os artigos sobre os vários sabores dos espaços vetoriais topológicos vão em mais detalhes sobre estes. Se K é um anel comutativo em vez de um corpo, então tudo o que foi dito acima sobre combinações lineares generaliza para este caso sem alteração. A única diferença é que chamamos espaços como este V módulos em vez de espaços vetoriais. Se K é um anel não comutativo, então o conceito ainda generaliza, com uma ressalva: Como os módulos sobre anéis não comutativos vêm em versões esquerda e direita, nossas combinações lineares também podem vir em qualquer uma dessas versões, o que for apropriado para o módulo dado. Isso é simplesmente uma questão de fazer multiplicação escalar no lado correto.
