Independência linear
Em álgebra linear, um conjunto de vectores diz-se linearmente independente se nenhum dos seus elementos for combinação linear dos outros.
Um subconjunto S {\displaystyle S} de um espaço vectorial V {\displaystyle V} diz-se linearmente dependente se existe um subconjunto finito F {\displaystyle F} de S {\displaystyle S} e escalares λ v , v ∈ F , {\displaystyle \lambda _{v},v\in F,} não todos nulos, tais que ∑ v ∈ F λ v v = 0. {\displaystyle \sum _{v\in F}\lambda _{v}\ v=0.} O subconjunto S {\displaystyle S} diz-se linearmente independente se para qualquer subconjunto finito F {\displaystyle F} de S {\displaystyle S} se tem ∑ v ∈ F λ v v = 0 ⇒ λ v = 0 , ∀ v ∈ F . {\displaystyle \sum _{v\in F}\lambda _{v}\ v=0\Rightarrow \lambda _{v}=0\,,\forall v\in F.} Nestas situações, diz-se também que os vectores do subconjunto S {\displaystyle S} são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI), respectivamente. Com base nessa definição não é difícil de concluir que um subconjunto S {\displaystyle S} é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores do conjunto é combinação linear dos demais.
Independência linear em conjuntos de vectores
Suponhamos que { v 1 → , v 2 → , … , v n → } {\displaystyle \left\{{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}\right\}} é um conjunto de vectores de R m {\displaystyle \mathbb {R^{m}} } , em que n ≤ m {\displaystyle n\leq m} e v 1 → = [ v 11 v 21 ⋮ v m 1 ] , {\displaystyle {\vec {v_{1}}}={\begin{bmatrix}v_{11}\\v_{21}\\\vdots \\v_{m1}\end{bmatrix}},} v 2 → = [ v 12 v 22 ⋮ v m 2 ] , … , {\displaystyle {\vec {v_{2}}}={\begin{bmatrix}v_{12}\\v_{22}\\\vdots \\v_{m2}\end{bmatrix}},\ldots ,} v n → = [ v 1 n v 2 n ⋮ v m n ] . {\displaystyle {\vec {v_{n}}}={\begin{bmatrix}v_{1n}\\v_{2n}\\\vdots \\v_{mn}\end{bmatrix}}.} Ainda, fixemos as constantes k 1 , k 2 , … , k n ∈ R {\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\in \mathbb {R} } , tais que
Independência linear em colunas de matrizes
A partir de uma matriz M {\displaystyle M} , pode-se verificar se suas colunas são linearmente independentes. Uma forma de realizar esta verificação, é por meio de uma equação da forma M x → = 0 → , {\displaystyle M{\vec {x}}={\vec {0}},} a qual representa um sistema homogêneo na forma matricial, de modo que podemos definir se existem soluções não triviais para x → {\displaystyle {\vec {x}}} . Se houverem vectores não nulos para x → {\displaystyle {\vec {x}}} satisfazendo a equação M x → = 0 → {\displaystyle M{\vec {x}}={\vec {0}}} , então segue que as colunas de M {\displaystyle M} são linearmente dependentes. Porém, caso a única solução seja x → = 0 → {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {0}}} , então segue que as colunas de M {\displaystyle M} são linearmente independentes.
Em alguns casos, não é necessário utilizar os algoritmos citados anteriormente, pois apenas analisando os vectores do conjunto é possível classificá-lo como linearmente dependente. Vejamos alguns casos citados a seguir.
Vector nulo
Qualquer conjunto de vectores que contenha o vector nulo será linearmente dependente, mesmo que tal conjunto seja unitário, isto é, mesmo que tenha apenas um vector. Por exemplo, suponha que u → {\displaystyle {\vec {u}}} , v → {\displaystyle {\vec {v}}} e w → {\displaystyle {\vec {w}}} sejam vectores não nulos de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} e que k 1 {\displaystyle k_{1}} , k 2 {\displaystyle k_{2}} , k 3 {\displaystyle k_{3}} e k 4 {\displaystyle k_{4}} sejam constantes reais. Ainda, seja 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} o vector nulo de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , de modo que k 1 u → + k 2 v → + k 3 w → + k 4 0 → = 0 → . {\displaystyle k_{1}{\vec {u}}+k_{2}{\vec {v}}+k_{3}{\vec {w}}+k_{4}{\vec {0}}={\vec {0}}.}
Vectores múltiplos
Conjuntos de vectores que contenham dois ou mais vectores múltiplos escalares entre si são conjuntos linearmente dependentes. Isso decorre do fato de que, se existe algum vector do conjunto que é múltiplo de outro vector, então ele pode ser expresso como combinação linear dos demais vectores. Por exemplo, sejam a 1 , a 2 ∈ R {\displaystyle a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} } e u → , v → , w → ∈ R 2 {\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in \mathbb {R^{2}} } , com u → = ( 2 a 1 , 2 a 2 ) , {\displaystyle {\vec {u}}=(2a_{1},2a_{2}),} v → = ( a 1 , a 2 ) {\displaystyle {\vec {v}}=(a_{1},a_{2})} e w → = ( 3 a 1 , 2 a 2 ) {\displaystyle {\vec {w}}=(3a_{1},2a_{2})} . Note que u → = 2 ( a 1 , a 2 ) = 2 v → {\displaystyle {\vec {u}}=2(a_{1},a_{2})=2{\vec {v}}} , ou seja, u → {\displaystyle {\vec {u}}} e v → {\displaystyle {\vec {v}}} são múltiplos e, portanto, temos a possível combinação linear u → = 2 v → + 0 w → {\displaystyle {\vec {u}}=2{\vec {v}}+0{\vec {w}}} . Logo, o conjunto { u → , v → , w → } {\displaystyle \left\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\right\}} é linearmente dependente.
Número de vectores
Em um espaço vectorial de dimensão finita, se o número de vectores do conjunto a ser verificado for superior à dimensão do espaço vetorial, então o conjunto será linearmente dependente. Assim, um conjunto com n {\displaystyle n} vectores em R m {\displaystyle \mathbb {R^{m}} } é linearmente dependente se n > m {\displaystyle n>m} . De fato, seja V = [ v 1 → v 2 → … v n → ] {\displaystyle V={\Big [}{\vec {v_{1}}}\quad {\vec {v_{2}}}\quad \ldots \quad {\vec {v_{n}}}{\Big ]}} uma matriz de ordem m × n {\displaystyle m\times n} , com v 1 → , v 2 → , … , v n → ∈ R m {\displaystyle {\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}\in \mathbb {R^{m}} } e n > m {\displaystyle n>m} . Note que a equação
Determinante
Quando o número de vectores de um subconjunto de R m {\displaystyle \mathbb {R^{m}} } for igual ao número de componentes de cada vector ( m {\displaystyle m} ), é possível utilizar o determinante para definir se o conjunto de vectores é linearmente dependente ou não. Para realizar uma verificação a partir de um determinante, basta utilizar cada vector do conjunto como sendo uma coluna (ou linha) de uma matriz M {\displaystyle M} e, em seguida, calcular seu determinante. Se o resultado for igual a 0 {\displaystyle 0} , então o conjunto de vectores será linearmente dependente. Por outro lado, caso o determinante seja diferente de 0 {\displaystyle 0} , então o conjunto será linearmente independente. O conceito pode ser estendido para o caso de independência linear de colunas de matrizes quadradas.
Fixe A ⊂ R n {\displaystyle A\subset \mathbb {R^{n}} } . Então, são equivalentes: implica que α 1 = β 1 , … , α k = β k . {\displaystyle \alpha _{1}=\beta _{1},\ldots ,\alpha _{k}=\beta _{k}.} com todos os v 1 → , … , v k → ∈ A {\displaystyle {\vec {v_{1}}},\ldots ,{\vec {v_{k}}}\in A} distintos entre si, todos os w 1 → , … , w m → ∈ A {\displaystyle {\vec {w_{1}}},\ldots ,{\vec {w_{m}}}\in A} distintos entre si, e com todos os α 1 , … , α k {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}} e β 1 , … , β m {\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{m}} não nulos, então k = m {\displaystyle k=m} , e os índices de β j {\displaystyle \beta _{j}} e w j → {\displaystyle {\vec {w_{j}}}} podem ser rearranjados de modo que
De fato, como o conjunto β {\displaystyle \beta } forma uma base para o espaço vectorial V {\displaystyle V} , segue que os vectores de β {\displaystyle \beta } são linearmente independentes. Ainda, o número de vectores do conjunto β {\displaystyle \beta } é igual à dimensão de V {\displaystyle V} . Logo, se α {\displaystyle \alpha } é um conjunto do espaço vectorial V {\displaystyle V} , sendo que o número de vectores de α {\displaystyle \alpha } é maior que o número de vectores de β {\displaystyle \beta } , segue que o número de vectores do conjunto α {\displaystyle \alpha } será maior que a dimensão de V {\displaystyle V} , de modo que tal conjunto será linearmente dependente. Vamos mostrar que se pelo menos um dos vectores de S {\displaystyle S} for combinação linear dos demais vectores, então S {\displaystyle S} é linearmente dependente. De fato, se v j → {\displaystyle {\vec {v_{j}}}} for uma combinação linear dos outros vectores de S {\displaystyle S} , então podemos reordenar os vectores do conjunto, escrevendo v j → {\displaystyle {\vec {v_{j}}}} como
