Conjunto vazio
Em matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos, o conjunto vazio é o único conjunto que não possui elementos. Dizemos que o seu tamanho ou cardinalidade é zero. Em algumas teorias de conjuntos a sua existência é postulada mediante o axioma do conjunto vazio; em outras é deduzida.
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Uma consequência direta do axioma da extensão é Ora, se U {\displaystyle U} e V {\displaystyle V} são conjuntos distintos, deduz-se com o axioma da extensão que Logo, U {\displaystyle U} e V {\displaystyle V} distintos não podem ser ambos vazios.
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Muitas propriedades sobre conjuntos são trivialmente satisfeitas pelo conjunto vazio. Por exemplo, para mostrar que um conjunto B {\displaystyle B} é subconjunto de um conjunto A {\displaystyle A} , é necessário mostrar que todo elemento de B {\displaystyle B} é também um elemento de A {\displaystyle A} . E, logicamente, para mostrar que B {\displaystyle B} não é subconjunto de A {\displaystyle A} , é preciso exibir um elemento de B {\displaystyle B} que não seja elemento de A {\displaystyle A} . Assim, em particular, como ∅ {\displaystyle \varnothing } não possui elementos, não é possível mostrar que ∅ {\displaystyle \varnothing } não é subconjunto de um conjunto dado A {\displaystyle A} . Logo, somos obrigados a aceitar que ∅ ⊂ A {\displaystyle \varnothing \subset A} qualquer que seja o conjunto A {\displaystyle A} . Tal como se argumenta em favor de que ∅ ⊂ A {\displaystyle \varnothing \subset A} para todo conjunto A {\displaystyle A} , mostra-se que o conjunto vazio é um conjunto aberto da reta. De fato, para mostrar que ∅ {\displaystyle \varnothing } é aberto precisa-se mostrar que todo ponto de ∅ {\displaystyle \varnothing } é ponto interior. Como ∅ {\displaystyle \varnothing } não possui pontos, não possui também pontos que não são interiores e, assim, é, por impossibilidade de prova em contrário, um aberto da reta.
Supremo e ínfimo
Uma vez que o conjunto vazio não possui elementos, quando considerado como um subconjunto de um conjunto ordenado, todo elemento do conjunto ordenado é uma cota superior e, também, uma cota inferior para o conjunto vazio. Por exemplo, quando considerado como um subconjunto de R {\displaystyle \mathbb {R} } , munido da ordem usual, todo número real é tanto uma cota superior como uma cota inferior para o conjunto vazio. Assim, na reta real estendida, temos
Teoria das categorias
Dado um conjunto A {\displaystyle A} qualquer, ∅ × A = ∅ {\displaystyle \varnothing \times A=\varnothing } e, assim, existe uma única função f : ∅ → A {\displaystyle f:\varnothing \rightarrow A} , a função vazia. Como resultado, o conjunto vazio é o único objeto inicial na categoria dos conjuntos. Podemos ainda fazer do conjunto vazio um espaço topológico, chamado espaço vazio, definindo sobre ele a seguinte topologia: τ = { ∅ } {\displaystyle \tau =\{\varnothing \}} . Este espaço topológico é o único objeto inicial na categoria dos espaços topológicos.
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Se por um lado o conceito de conjunto vazio é comum e amplamente aceito em matemática, por outro permanece como uma curiosidade ontológica, sendo discutido por filósofos e lógicos. O conjunto vazio não é o mesmo que nada; é um conjunto com nada dentro e um conjunto é sempre algo. Esta questão pode ser melhor ilustrada com a analogia: uma sacola vazia, mesmo que vazia, ainda existe; e isto não se discute. Darling (2004) explica que o conjunto vazio não é nada senão "o conjunto de todos os triângulos com quatro lados, de todos os números maiores do que nove e menores do que oito, e o conjunto de todos os movimentos de abertura, em xadrez, que envolvam um rei." é, frequentemente, usado para demonstrar a relação filosófica entre o conceito de nada e de conjunto vazio. Darling escreve que a diferença pode ser vista quando se reescreve as afirmações "Nada é melhor do que a eterna felicidade" e "Um sanduíche de presunto é melhor do que nada" em linguagem mais matemática. De acordo com Darling, as duas afirmações são, respectivamente, equivalentes a "O conjunto de todas as coisas que são melhores do que a eterna felicidade é ∅ {\displaystyle \varnothing } " e "O conjunto {sanduíche de presunto} é melhor do que o conjunto ∅ {\displaystyle \varnothing } ". Enquanto a primeira frase é uma comparação entre elementos de conjuntos, a segunda é uma comparação entre dois conjuntos.
