Conjunto unitário
Em matemática, um conjunto unitário, também conhecido como singleto, é um conjunto com exatamente um elemento. Por exemplo, o conjunto { nulo } é um conjunto unitário contendo o elemento nulo.
Dentro da estrutura da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o axioma da regularidade garante que nenhum conjunto é um elemento de si mesmo. Isso implica que um singleto é necessariamente distinto do elemento que ele contém, portanto, 1 e {1} não são a mesma coisa, e o conjunto vazio é distinto do conjunto que contém apenas o conjunto vazio. Um conjunto como {{1, 2, 3}} é um singleto, pois contém um único elemento (que por si só é um conjunto, mas não um singleto). Um conjunto é unitário se, e somente se, sua cardinalidade é 1 . Na definição dos números naturais que se baseia em teoria dos conjuntos e que é atribuída a von Neumann, o número 1 é definido como o singleto {0}. Na teoria axiomática dos conjuntos, a existência de singletos é uma consequência do axioma do par: para qualquer conjunto A, o axioma aplicado a A e A afirma a existência de {A, A}, que é o mesmo que o singleto {A} (uma vez que contém A, e nenhum outro conjunto, como um elemento).
Estruturas construídas em singletos frequentemente servem como objetos terminais ou objetos zero de várias categorias:
Seja S {\displaystyle S} uma classe definida por uma função indicadora b : X → { 0 , 1 } . {\displaystyle b:X\to \{0,1\}.} Então S {\displaystyle S} é chamada de singleto se, e somente se, houver algum y ∈ X tal que para todo x ∈ X, b ( x ) = ( x = y ) . {\displaystyle b(x)=(x=y).}
A seguinte definição foi introduzida por Whitehead e Russell ι ‘ x = y ^ ( y = x ) Df. {\displaystyle \iota {\text{‘}}x={\hat {y}}(y=x)\ {\textbf {Df.}}} O símbolo ι {\displaystyle \iota } ' x {\displaystyle x} denota o singleto { x } {\displaystyle \{x\}} e y ^ ( y = x ) {\displaystyle {\hat {y}}(y=x)} denota a classe de objetos idênticos a x {\displaystyle x} , também conhecida como { y : y = x } {\displaystyle \{y:y=x\}} . Isso ocorre como uma definição na introdução, o que, em alguns lugares, simplifica o argumento no texto principal, onde ocorre como proposição 51.01 (p.357 ibid.). A proposição é usada posteriormente para definir o número cardinal 1 como 1 = α ^ ( ( ∃ x ) α = ι ‘ x ) Df. {\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota {\text{‘}}x)\ {\textbf {Df.}}} Ou seja, 1 é a classe dos singletos. Esta é a definição 52.01 (p.363 ibid.).
