Espaço topológico
Em matemática, um espaço topológico é, em termos gerais, um espaço geométrico no qual a proximidade é definida, mas não pode necessariamente ser medida por uma distância numérica. Mais especificamente, um espaço topológico é um conjunto cujos elementos são chamados de pontos, juntamente com uma estrutura adicional chamada topologia, que pode ser definida como um conjunto de vizinhanças para cada ponto que satisfaz alguns axiomas formalizando o conceito de proximidade. Existem várias definições equivalentes de uma topologia, sendo a mais comumente usada a definição através de conjuntos abertos.
Diz-se que uma superfície curva possui curvatura contínua em um de seus pontos A, se a direção de todas as linhas retas traçadas de A para pontos da superfície a uma distância infinitesimal de A defletirem infinitesimalmente de um mesmo plano que passa por A. Por volta de 1735, Leonhard Euler descobriu a fórmula {{{1}}} relacionando o número de vértices (V), arestas (A) e faces (F) de um poliedro convexo, e consequentemente de um grafo planar. O estudo e a generalização dessa fórmula, especificamente por Cauchy (1789–1857) e L'Huilier (1750–1840), impulsionaram o estudo da topologia. Em 1827, Carl Friedrich Gauss publicou Investigações gerais de superfícies curvas, cuja seção 3 define a superfície curva de maneira semelhante ao entendimento topológico moderno. Ainda assim, "até o trabalho de Riemann no início da década de 1850, as superfícies eram sempre tratadas de um ponto de vista local (como superfícies paramétricas) e questões topológicas nunca eram consideradas". "Möbius e Jordan parecem ser os primeiros a perceber que o problema principal sobre a topologia das superfícies (compactas) é encontrar invariantes (preferencialmente numéricos) para decidir a equivalência das superfícies, isto é, para decidir se duas superfícies são homeomorfas ou não."
A utilidade do conceito de topologia é demonstrada pelo fato de existirem várias definições equivalentes dessa estrutura matemática. Assim, escolhe-se a axiomatização mais adequada para a aplicação. A mais comumente usada é a formulada em termos de conjuntos abertos, mas talvez mais intuitiva seja a formulada em termos de vizinhanças, motivo pelo qual esta é apresentada primeiro.
Definição via vizinhanças
Esta axiomatização é devida a Felix Hausdorff. Seja X {\displaystyle X} um conjunto (possivelmente vazio). Os elementos de X {\displaystyle X} são geralmente chamados de pontos, embora possam ser qualquer objeto matemático. Seja N {\displaystyle {\mathcal {N}}} uma função que atribui a cada x {\displaystyle x} (ponto) em X {\displaystyle X} uma coleção não vazia N ( x ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(x)} de subconjuntos de X {\displaystyle X} . Os elementos de N ( x ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(x)} serão chamados de vizinhanças de x {\displaystyle x} em relação a N {\displaystyle {\mathcal {N}}} (ou, simplesmente, vizinhanças de x {\displaystyle x} ). A função N {\displaystyle {\mathcal {N}}} é chamada de topologia de vizinhanças se os axiomas abaixo forem satisfeitos; e então X {\displaystyle X} com N {\displaystyle {\mathcal {N}}} é chamado de espaço topológico.
Definição via conjuntos abertos
Uma topologia sobre um conjunto X {\displaystyle X} pode ser definida como uma coleção τ {\displaystyle \tau } de subconjuntos de X {\displaystyle X} , chamados de conjuntos abertos e que satisfazem os seguintes axiomas: Como esta definição de topologia é a mais comumente usada, o conjunto τ {\displaystyle \tau } dos conjuntos abertos é comumente chamado de topologia sobre X . {\displaystyle X.} Diz-se que um subconjunto C ⊆ X {\displaystyle C\subseteq X} é fechado em ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} se o seu complemento X ∖ C {\displaystyle X\setminus C} for um conjunto aberto. Note que a partir dessa definição, segue-se que o conjunto vazio e X {\displaystyle X} são simultaneamente abertos e fechados – isto é, os dois conjuntos são complementos um do outro, enquanto cada um deles é, em si mesmo, aberto. Em geral, qualquer subconjunto de X {\displaystyle X} com esta propriedade é dito ser clopen (aberto e fechado).
Definição via conjuntos fechados
Usando as Leis de De Morgan, os axiomas acima que definem conjuntos abertos tornam-se axiomas que definem conjuntos fechados: Usando esses axiomas, outra maneira de definir um espaço topológico é como um conjunto X juntamente com uma coleção τ de subconjuntos fechados de X. Assim, os conjuntos na topologia τ são os conjuntos fechados, e seus complementos em X são os conjuntos abertos.
Outras definições
Existem muitas outras maneiras equivalentes de definir um espaço topológico: em outras palavras, os conceitos de vizinhança, ou o de conjuntos abertos ou fechados, podem ser reconstruídos a partir de outros pontos de partida e satisfazer os axiomas corretos. Outra maneira de definir um espaço topológico é usando os Axiomas de fechamento de Kuratowski, que definem os conjuntos fechados como os pontos fixos de um operador sobre o conjunto das partes de X. Uma rede é uma generalização do conceito de sequência. Uma topologia é completamente determinada se, para toda rede em X, o conjunto de seus pontos de acumulação for especificado.
Muitas topologias podem ser definidas em um conjunto para formar um espaço topológico. Quando cada conjunto aberto de uma topologia τ1 também é aberto para uma topologia τ2, diz-se que τ2 é mais fina que τ1, e τ1 é mais grossa que τ2. Uma demonstração que se baseia apenas na existência de certos conjuntos abertos também será válida para qualquer topologia mais fina e, da mesma forma, uma demonstração que se baseia apenas em certos conjuntos não serem abertos aplica-se a qualquer topologia mais grossa. Os termos maior e menor são às vezes usados no lugar de mais fina e mais grossa, respectivamente. Os termos mais forte e mais fraca também são usados na literatura, mas com pouco acordo sobre o significado, de modo que se deve sempre verificar a convenção adotada pelo autor durante a leitura. A coleção de todas as topologias sobre um determinado conjunto fixo X forma um reticulado completo: se F = {τα : α ∈ A} é uma coleção de topologias em X, então o ínfimo de F é a interseção de F, e o supremo de F é o ínfimo da coleção de todas as topologias em X que contêm todos os membros de F.
Uma função f : X → Y entre espaços topológicos é chamada de contínua se, para todo x ∈ X e toda vizinhança N de f(x), existe uma vizinhança M de x tal que f(M) ⊆ N. Isso se relaciona facilmente com a definição usual na análise matemática. Equivalentemente, f é contínua se a imagem inversa (ou pré-imagem) de cada conjunto aberto é aberta. Esta é uma tentativa de capturar a intuição de que não há "saltos" ou "separações" na função. Um homeomorfismo é uma bijeção que é contínua e cuja inversa também é contínua. Dois espaços são chamados de homeomorfos se existir um homeomorfismo entre eles. Do ponto de vista da topologia, espaços homeomorfos são essencialmente idênticos. Na teoria das categorias, uma das categorias fundamentais é a Top, que denota a categoria dos espaços topológicos, cujos objetos são espaços topológicos e cujos morfismos são funções contínuas. A tentativa de classificar os objetos desta categoria (a menos de homeomorfismo) através de invariantes tem motivado áreas de pesquisa, tais como a teoria da homotopia, a teoria da homologia e a teoria K.
Um determinado conjunto pode ter muitas topologias diferentes. Se a um conjunto for dada uma topologia diferente, ele é visto como um espaço topológico diferente. Qualquer conjunto pode receber a topologia discreta na qual todo subconjunto é aberto. As únicas sequências ou redes convergentes nesta topologia são aquelas que eventualmente se tornam constantes. Além disso, qualquer conjunto pode receber a topologia trivial (também chamada de topologia indiscreta), na qual apenas o conjunto vazio e o espaço inteiro são abertos. Toda sequência e rede nesta topologia converge para todos os pontos do espaço. Este exemplo mostra que, em espaços topológicos gerais, os limites de sequências não precisam ser únicos. No entanto, frequentemente exige-se que os espaços topológicos sejam espaços de Hausdorff, onde os pontos limite são únicos. Existem inúmeras topologias em qualquer conjunto finito dado. Tais espaços são chamados de espaços topológicos finitos. Espaços finitos são às vezes usados para fornecer exemplos ou contraexemplos para conjecturas sobre espaços topológicos em geral.
Topologia a partir de outras topologias
Todo subconjunto de um espaço topológico pode receber a topologia de subespaço, na qual os conjuntos abertos são as interseções dos conjuntos abertos do espaço maior com o subconjunto. Para qualquer família indexada de espaços topológicos, o produto pode receber a topologia produto, que é gerada pelas imagens inversas de conjuntos abertos dos fatores sob as aplicações de projeção. Por exemplo, em produtos finitos, uma base para a topologia produto consiste em todos os produtos de conjuntos abertos. Para produtos infinitos, há o requisito adicional de que, em um conjunto aberto básico, todas as suas projeções, exceto um número finito delas, sejam o espaço inteiro. Esta construção é um caso especial de uma topologia inicial.
Espaços métricos
Os espaços métricos incorporam uma métrica, uma noção precisa de distância entre os pontos. Todo espaço métrico pode receber uma topologia métrica, na qual os conjuntos abertos básicos são bolas abertas definidas pela métrica. Esta é a topologia padrão em qualquer espaço vetorial normado. Em um espaço vetorial de dimensão finita, esta topologia é a mesma para todas as normas. Existem muitas maneiras de definir uma topologia em R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} o conjunto dos números reais. A topologia padrão em R {\displaystyle \mathbb {R} } é gerada pelos intervalos abertos. O conjunto de todos os intervalos abertos forma uma base para a topologia, o que significa que cada conjunto aberto é uma união de alguma coleção de conjuntos da base. Em particular, isso significa que um conjunto é aberto se existe um intervalo aberto de raio não nulo em torno de cada ponto do conjunto. De forma mais geral, os espaços euclidianos R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} podem receber uma topologia. Na topologia usual em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , os conjuntos abertos básicos são as bolas abertas. De forma semelhante, C , {\displaystyle \mathbb {C} ,} o conjunto dos números complexos, e C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} possuem uma topologia padrão na qual os conjuntos abertos básicos são bolas abertas.
Topologia a partir de estruturas algébricas
Para quaisquer objetos algébricos podemos introduzir a topologia discreta, sob a qual as operações algébricas são funções contínuas. Para qualquer estrutura desse tipo que não seja finita, frequentemente temos uma topologia natural compatível com as operações algébricas, no sentido de que as operações algébricas continuam sendo contínuas. Isso leva a conceitos como grupos topológicos, anéis topológicos, corpos topológicos e espaços vetoriais topológicos sobre estes últimos. Corpos locais são corpos topológicos importantes na teoria dos números. A topologia de Zariski é definida algebricamente sobre o espectro de um anel ou uma variedade algébrica. Em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ou C n , {\displaystyle \mathbb {C} ^{n},} os conjuntos fechados da topologia de Zariski são os conjuntos de soluções de sistemas de equações polinomiais.
Topologia a partir de outras estruturas
Se Γ {\displaystyle \Gamma } for um filtro sobre um conjunto X , {\displaystyle X,} então { ∅ } ∪ Γ {\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma } é uma topologia em X . {\displaystyle X.} Muitos conjuntos de operadores lineares na análise funcional são dotados de topologias que são definidas especificando-se quando uma determinada sequência de funções converge para a função nula. Um grafo linear possui uma topologia natural que generaliza muitos dos aspectos geométricos dos grafos com vértices e arestas. O espaço exterior de um grupo livre F n {\displaystyle F_{n}} consiste nas chamadas "estruturas de grafos métricos marcados" de volume 1 em F n . {\displaystyle F_{n}.}
Espaços topológicos podem ser classificados de forma ampla, a menos de homeomorfismo, por suas propriedades topológicas. Uma propriedade topológica é uma propriedade dos espaços que é invariante sob homeomorfismos. Para provar que dois espaços não são homeomorfos, basta encontrar uma propriedade topológica que não seja compartilhada por eles. Exemplos de tais propriedades incluem conexidade, compacidade e vários axiomas de separação. Para invariantes algébricos, veja a topologia algébrica.
