Axioma
Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução de outras verdades.
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A palavra "axioma" vem da palavra grega ἀξίωμα (axioma), um substantivo verbal do verbo ἀξιόειν (axioein), que significa "considerar valido", mas também "requerer", que por sua vez vem da palavra ἄξιος (axios), que significa "estar em equilíbrio", e portanto "ter (o mesmo) valor (de)", "valido", "apropriado". Entre os filósofos da Grécia Antiga, um axioma era uma afirmação que poderia ser vista como verdade sem nenhuma necessidade de provas. O significado original da palavra "postular" é "exigir"; por exemplo, Euclides exige que concordemos que certas coisas podem ser feitas, ex: quaisquer dois pontos podem ser unidos por uma linha reta, etc. Os antigos geômetras mantiveram alguma distinção entre axiomas e postulados. Ao comentar os livros de Euclides, Proclo adverte que "Geminus considerou que este [4º] Postulado não deve ser classificado como um postulado e sim como um axioma, já que, diferente dos três primeiros Postulados, ele não declara a possibilidade de alguma construção mas sim expressa uma propriedade essencial". Boécio traduziu "postulado" como petitio e chamou os axiomas de notiones communes, mas em manuscritos posteriores esse uso nem sempre foi estritamente mantido.
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Visão Clássica
O método lógico-dedutivo clássico consistia em sistemas a partir dos quais premissas eram seguidas de conclusões através da aplicação de argumentos (silogismos, regras de inferência). Com exceção das tautologias, nada pode ser deduzido se nada é assumido. Axiomas e postulados são hipóteses básicas subjacentes a um corpo de conhecimento dedutivo. São aceitos sem demonstração. Todas as outras asserções (teoremas, se estivermos falando sobre matemática) devem ser demonstradas com o auxílio de hipóteses básicas. No entanto, a interpretação do conhecimento matemático mudou dos tempos antigos para o moderno, e consequentemente os termos axioma e postulado tiveram uma leve diferença de significado para os matemáticos atuais, em contraste com o significado original destes termos para Aristóteles e Euclides.
Visão Geral
Uma lição aprendida pela matemática nos últimos 150 anos é que é útil decifrar o significado das asserções matemáticas (axiomas, postulados, proposições, teoremas) e definições. Esta abstração, que poderia até ser chamada de formalização, faz o conhecimento matemático mais genérico, capaz de múltiplos diferentes significados e, portanto, útil em múltiplos contextos. O estruturalismo matemático vai mais adiante, e desenvolve teorias e axiomas sem uma aplicação particular em mente. A distinção entre um "axioma" e um "postulado" desaparece. Os postulados de Euclides são provavelmente considerados por fornecerem uma rica coleção de fatos geométricos. A verdade desses fatos complicados está na aceitação de hipóteses básicas. Entretanto, excluindo o quinto postulado de Euclides, obtemos que estes possuem significados em diversos contextos (geometria hiperbólica, por exemplo). Devemos simplesmente estar preparados para usar nomes como "linha" e "paralelo" com uma maior flexibilidade. O desenvolvimento da geometria hiperbólica ensinou aos matemáticos que postulados podem ser considerados como hipóteses puramente formais, e não como fatos baseados na experiência.
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Axiomas Lógicos
Axiomas Lógicos são fórmulas em uma linguagem que é universalmente válida, ou seja, são fórmulas satisfeitas por toda a estrutura sob toda função de tarefa de variáveis. Em outros termos, axiomas lógicos são estados que são verdadeiros em algum possível universo, para alguma possível interpretação e com alguma tarefa de valor. Normalmente eles usam axiomas lógicos para um mínimo conjunto de tautologias que é suficiente para provar todas as tautologias na linguagem; na lógica de primeira ordem o axioma lógico é necessário para provar verdades lógicas que não são tautologias no sentido rígido. Na lógica proposicional é comum considerar como axiomas lógicos as fórmulas a seguir, onde ϕ , {\displaystyle \phi ,} ψ {\displaystyle \psi } e χ {\displaystyle \chi } podem ser qualquer fórmula de linguagem e os conectivos permitidos são apenas " ¬ {\displaystyle \neg } " para negação e " → {\displaystyle \to } " para implicação (antecedente para consequente):
Axiomas Não-lógicos
Axiomas não-lógicos são fórmulas que usam a função de hipóteses de teorias especificadas. Em razão sobre duas diferentes estruturas, por exemplo os números naturais e os integrais, podem envolver o mesmo axioma lógico; os axiomas não-lógicos visam capturar o que é especial sobre uma estrutura particular (ou conjunto de estruturas, como os grupos). Desse modo os axiomas não-lógicos, diferentemente dos axiomas lógicos, não são tautologias. Outro nome para um axioma não-lógico é postulado. Quase toda a teoria da matemática moderna iniciou de um dado conjunto de axiomas não-lógicos, e eles eram imaginados como um principio que toda teoria pode ser axiomatizada neste caminho e formalizada por uma linguagem vazia de fórmulas lógicas. Isto se tornou impossível e provou ser totalmente uma história; Assim recentemente esta aproximação retornou na forma de neologismo.
Aritmética
O axioma de Peano é o mais usado em axiomatização de aritmética de primeira ordem. eles são um conjunto de axiomas fortes o suficiente para provar alguns importantes fatos sobre teoria dos números e eles permitem que Godel estabilize sua famosa segunda teoria da incompletude. Nós temos uma linguagem L N T = { 0 , S } {\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}} onde 0 {\displaystyle 0} é uma constante e S {\displaystyle S} é uma função unitária e é seguida dos axiomas: para alguma formula L N T {\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}} ϕ {\displaystyle \phi } com uma variável livre. A estrutura padrão é N = ⟨ N , 0 , S ⟩ {\displaystyle {\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle } onde N {\displaystyle \mathbb {N} } é o conjunto dos números naturais, S {\displaystyle S} é a função sucessora e 0 {\displaystyle 0} é interpretado como o numero 0.
Geometria euclidiana
Provavelmente a mais antiga e mais famosa lista de axiomas são os 4 + 1 postulados de Euclides da geometria plana. Os axiomas são ditos como "4 + 1" pois por volta de dois milênios o quinto postulado era questionável por ser uma derivação dos quatro primeiros. Ultimamente, o quinto postulado foi considerado independente dos outros quatro. Sem dúvida, ele pode assumir que não existem paralelas através de um ponto externo a uma linha existente, ou que infinitamente alguns existem. Estas opções nos dão formas alternativas de geometria em que os ângulos internos de um triângulo somados com o menor deles, exatamente, ou mais que um linha correta respectivamente e é conhecida como geometrias hiperbólicas, elípticas e euclidianas.
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Sistema dedutivo e completude Um sistema dedutivo consiste, de um grupo Λ {\displaystyle \Lambda } de axiomas lógicos, um conjunto Σ {\displaystyle \Sigma } de axiomas não-lógicos, e um conjunto { ( Γ , ϕ ) } {\displaystyle \{(\Gamma ,\phi )\}} de regras de inferência. Uma propriedade desejável de um sistema dedutivo é que ele seja completo. Um sistema é dito ser completo se, para todas as fórmulas ϕ , {\displaystyle \phi ,} significa que para alguns estados que a consequência lógica de Σ {\displaystyle \Sigma } existe atualmente uma dedução do estado de Σ . {\displaystyle \Sigma .} isto é, algumas vezes, expressados como "tudo que é verdadeiro é provado", mas ele pode ser entendido como "verdade" aqui significa "tornou-se verdade pelo conjunto de axiomas", e não, por exemplo, "verdade na interpretação pretendida". O teorema da completude de Godel estabiliza a completude de um certo comumente usado tipo de sistema dedutivo.
