Fita de Möbius
Uma fita de Möbius ou faixa de Möbius é um espaço topológico obtido pela colagem das duas extremidades de uma fita, após efetuar meia volta em uma delas. Deve o seu nome a August Ferdinand Möbius, que a estudou em 1858. Möbius estudou este objeto tendo em vista a obtenção de um prêmio da Academia de Paris sobre a teoria geométrica dos poliedros. Johann Benedict Listing já tinha trabalhado sobre o mesmo objeto alguns meses antes. O fato de tanto Möbius como Listing terem estudado alguns anos antes com Carl Friedrich Gauss sugere que a gênese destas ideias esteja ligada a este matemático.
Imagem: BrasilemRede · BY-SA · Openverse
A fita de Möbius tem várias propriedades interessantes. Uma linha traçada a partir da costura para o meio encontra-se de volta na costura, mas do outro lado. Se continuar a linha, chega-se ao ponto de partida, e é o dobro do comprimento da fita original. Esta única curva contínua demonstra que a fita de Möbius só tem um limite. Cortando uma fita de Möbius ao longo da linha de centro com uma tesoura, produz uma longa fita com duas reviravoltas, em vez de duas fitas; o resultado não é uma fita de Möbius. Isso acontece porque a fita original só tem uma borda que é duas vezes mais longa que o fita original. Cortando uma segunda independente da borda, metade do que foi em cada lado da tesoura. Corte esta nova, longa fita ao meio criando duas fitas em torno de si, cada um com duas voltas. Se a fita é cortada ao longo de um terço do caminho da borda, ela cria duas fitas: Uma é uma fita de Möbius – é o centro de terceiros original da fita, composta de 1/3 da largura e comprimento igual ao comprimento da fita original. O outro é uma longa, mas fita com duas reviravoltas no – lo-esta é uma vizinha da borda da fita original, e é composto de 1/3 da largura e o dobro do comprimento da fita original.
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Uma maneira de representar a fita de Möbius como um subconjunto do espaço Euclidiano tridimensional é usando a parametrização: onde 0 < u < 2π e −1 < v < 1. Isso cria uma fita de Möbius de largura 1, cujo círculo central tem raio 1, encontra-se no plano xy e é centrada em (0, 0, 0) .O parâmetro u roda em torno da fita enquanto v se move de um lado para o outro. Em coordenadas polares cilíndricas, uma versão ilimitada da fita de Möbius strip pode ser representada pela equação: log ( r ) sin ( 1 2 θ ) = z cos ( 1 2 θ ) . {\displaystyle \log(r)\sin \left({\frac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\frac {1}{2}}\theta \right).} .mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ambox{margin:0 10%}}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .ambox{display:none!important}}
Maior incorporação isométrica no 3-espaço
Se uma fita de Möbius regular no 3-espaço é retangular, isto é, criado a partir da identificação de dois lados opostos de uma dobra geométrica do retângulo, mas não se estende a superfície, em seguida, uma tal incorporação é conhecida para ser possível se a proporção do retângulo é maior que a raiz quadrada de 3. (Note que é o mais curto dos lados do retângulo que são identificados para obter a fita de Möbius.) Para uma proporção menor ou igual à raiz quadrada de 3, no entanto, uma regular incorporação de uma fita retangular de Möbius no 3-espaço pode ser impossível. Como a proporção de abordagens se limitam ao valor de √3 acima, qualquer fita retangular de Möbius no 3-espaço parece abordagem de uma forma que, no limite, pode ser considerada como uma fita de três triângulos equiláteros, dobrado em cima, de um outro modo que eles ocupam apenas um triângulo equilátero no 3-espaço.
Topologia
Topologicamente, a fita de Möbius pode ser definida como o quadrado [0, 1] × [0, 1] com seus lados superiores e inferiores identificados pela relação (x, 0) ~ (1 - x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1.Uma apresentação menos usada da fita Möbius é como o quociente topológico de um toro. Um toro pode ser construído como o quadrado [0, 1] × [0, 1] com as arestas identificadas como (0, y) ~ (1, y) (cola da esquerda para a direita) e (x, 0) ~ (x , 1) (cola de baixo para cima).Se ele é também identificado (x, y) ~ (y, x), então obtém-se a fita de Möbius. A diagonal do quadrado (os pontos (x, x) onde ambas as coordenadas interceptam) torna-se o limite da fita de Möbius, e carrega uma estrutura orbifold, que geometricamente corresponde à "reflexão" - geodésicas (linhas retas) na fita de Möbius refletem fora da borda de volta para a fita.
Computação Gráfica
Uma construção simples de fita de Möbius que pode ser usado para retratar em computador gráfica ou de modelagem de pacotes é o seguinte :
Abertura da banda de Möbius
A abertura da banda de Möbius é formada por eliminar o limite do padrão de banda de Möbius. Ele é construído a partir do conjunto S = { (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 and 0 < y < 1 } identificando os pontos (0, y) e (1, 1 − y) para todo 0 < y < 1. Ele pode ser construído como uma superfície de uma constante positiva, negativa, ou zero (a curvatura de (Gauss)). Nos casos da curvatura negativa e zero, a banda de Möbius pode ser construída como uma (geodesically) superfície total, o que significa que todos os geodésia ("linhas retas" na superfície) pode ser estendida indefinidamente em qualquer direção. Constante da curvatura negativa: Como o plano e o cilindro , abertura da banda de Möbius admite não só um variedade completa da curvatura constante em 0, mas também uma variedade completa da constante negativa, digamos -1. Uma maneira de ver isso é começar com a metade superior do plano (modelo de Poincaré) do plano hiperbólico ℍ, nomeada ℍ = { (x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} com a variedade de Riemaniano dada por (dx2 + dy2) / y2. A orientação de preservação da isometria desta variedade, são todos os conjuntos f : ℍ → ℍ da forma f(z) := (az + b) / (cz + d) onde a, b, c, d são números reais satisfazendo ad − bc = 1 Im(z) > 0 e temos identificado ℍ com {z ∈ ℂ | Im(z) > 0} dotado de variedade Riemaniano que foi mencionado. Em seguida, uma orientação-a inversão da isometria de g em ℍ dada por g(z) := −conj(z) onde conj(z) denota o complexo conjugado de z. Estes fatos implicam que o mapeamento h : ℍ → ℍ dada por h(z) := −2⋅conj(z) é uma orientação-a inversão da isometria de ℍ que gera um infinito cíclico do grupo G da isometria. (Seu quadrado é a isometriaque gera um infinito cíclico do grupo G da isometria. (Seu quadrado é a isometria h(z) := 4⋅z, que pode ser expressa como (2z + 0) / (0z + 1/2).) O quociente ℍ / G da ação do grupo pode facilmente ser visto para ser topologicamente uma banda de Möbius. Mas é também fácil verificar que ele é completo e não compacto, com curvatura negativa constante −1.
Banda de Möbius com limite de voltas
A aresta ou limite, de uma fita de Möbius é homeomorfica (topologicamente equivalente) para um círculo. Sob o costume de incorporações da faixa no espaço Euclidiano, como acima, o limite não é um verdadeiro círculo, no entanto, é possível incorporar uma fita de Möbius em três dimensões, de modo que a fronteira é um círculo perfeito deitado em algum plano. Por exemplo, ver Figuras 307, 308 e 309 da "Geometria e imaginação".
