Coordenadas polares
Em matemática, as coordenadas polares são um sistema de coordenadas bidimensional em que cada ponto no plano é determinado por uma distância e um ângulo em relação a um ponto fixo de referência.
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Os conceitos de ângulo e raio já eram usados pelas pessoas do primeiro milênio a.C.. O astrólogo e astrônomo grego Hiparco (190 – 120 a.C.) criou uma tabela de funções de corda dando o tamanho da corda para cada ângulo, e existem referências para eles usando coordenadas polares no estabelecimento de posições estelares. Em Sobre as Espirais, Arquimedes descreve a Espiral de Arquimedes, uma função cujo raio depende do ângulo. A matemática grega, no entanto, não se estendeu a um sistema de coordenadas completo. A partir do século VIII d.C., os astrônomos desenvolveram métodos para aproximar e calcular a direção para Meca (quibla) - e sua distância - de qualquer lugar na Terra. A partir do século IX d.C passaram a utilizar métodos de trigonometria esférica e projeções cartográficas para determinar estas quantidades com maior precisão. O cálculo é essencialmente a conversão das coordenadas polares equatoriais de Mecca (i.e. sua latitude e longitude) para suas coordenadas polares (i.e. sua quibla e distância) relativa a um sistema cujo meridiano de referência é o círculo máximo através da localização dada e os polos da Terra e cujo eixo polar é a linha entre a localização e o ponto antipodal. Os cálculos eram tão acurados quanto possível sob as condições limitadas impostas pela suposição de que a Terra era uma esfera perfeita.</ref>
Imagem: Drini (Pedro Sánchez) · BY-SA · Openverse
A coordenada radial é frequentemente denotada por r {\displaystyle r} ou ρ {\displaystyle \rho } (rho) e a coordenada angular por ϕ {\displaystyle \phi } (phi), θ {\displaystyle \theta } (theta) ou t {\displaystyle t} . A coordenada é especificada como ϕ {\displaystyle \phi } pelo padrão ISO 31-11. Ângulos em notação polar são geralmente expressos tanto em graus quanto em radianos ( 2 π r a d {\displaystyle 2\pi \ rad} sendo igual a 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }} ). Graus são tradicionalmente usados em navegação, agrimensura e muitas outras disciplinas aplicadas, enquanto radianos são mais comuns em matemática e física matemática. Em muitos contextos, uma coordenada positiva angular significa que o ângulo ϕ {\displaystyle \phi } é medido no sentido anti-horário do eixo. Na literatura matemática, o eixo polar é frequentemente desenhado horizontalmente e apontando para a direita.
Unicidade das coordenadas polares
Adicionando qualquer número de voltas completas ( 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }} ) à coordenada angular não muda a direção correspondente. Também, uma coordenada radial negativa é melhor interpretada como a distância positiva correspondente medida na direção oposta. Assim sendo, um mesmo ponto pode ser expresso por um número infinito de coordenas polares diferentes ( r {\displaystyle r} , ϕ ± n × 360 ∘ {\displaystyle \phi \pm n\times 360^{\circ }} ) ou ( − r {\displaystyle -r} , ϕ ± ( 2 n + 1 ) × 180 ∘ {\displaystyle \phi \pm (2n+1)\times 180^{\circ }} ), onde n {\displaystyle n} é um inteiro qualquer. Além disso, o próprio polo pode ser expresso como ( 0 , ϕ ) {\displaystyle (0,\phi )} para qualquer ângulo ϕ {\displaystyle \phi } .
As coordenadas polares r {\displaystyle r} e ϕ {\displaystyle \phi } podem ser convertidas para as coordenadas cartesianas x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} usando as funções trigonométricas seno e cosseno: x = r cos ( ϕ ) {\displaystyle x=r\cos(\phi )} y = r sin ( ϕ ) {\displaystyle y=r\sin(\phi )} As coordenadas cartesianas x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} podem ser convertidas para as coordenadas polares r {\displaystyle r} e ϕ {\displaystyle \phi } com r ≥ 0 {\displaystyle r\geq 0} e ϕ ∈ ( − π , π ] {\displaystyle \phi \in (-\pi ,\pi ]} por: r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} (como no Teorema de Pitágoras ou na norma euclidiana), e φ = atan2 ( y , x ) {\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (y,x)} onde atan2 ( x , y ) {\displaystyle \operatorname {atan2} (x,y)} é uma variação comum da função arco tangente definida como atan2 ( y , x ) = { arctan ( y x ) se x > 0 arctan ( y x ) + π se x < 0 e y ≥ 0 arctan ( y x ) − π se x < 0 e y < 0 π 2 se x = 0 e y > 0 − π 2 se x = 0 e y < 0 indefinido se x = 0 e y = 0 {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{se }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{se }}x<0&{\mbox{e }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{se }}x<0&{\mbox{e }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{se }}x=0&{\mbox{ e }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{se }}x=0&{\mbox{ e }}y<0\\{\text{indefinido}}&{\mbox{se }}x=0&{\mbox{ e }}y=0\end{cases}}}
Imagem: Proferichardperez · BY-SA · Openverse
A equação uma curva algébrica expressa em coordenadas polares é conhecida como uma equação polar. Em muitos casos, tal equação pode simplesmente ser especificada ao definir r {\displaystyle r} como uma função de ϕ {\displaystyle \phi } . A curva resultante consiste portanto de pondos da forma ( r ( ϕ ) , ϕ ) {\displaystyle (r(\phi ),\phi )} e pode ser considerada como o gráfico da função polar r {\displaystyle r} . Note que, em contrapartida as coordenadas cartesians, a variável independente é o segundo número no par ordenado. Diferentes formas de simetria podem ser deduzidas da equação da função polar r {\displaystyle r} . Se r ( − ϕ ) = r ( ϕ ) {\displaystyle r(-\phi )=r(\phi )} , a curva será simétrica em torno do raio horizontal (0º/180º), se r ( π − ϕ ) = r ( ϕ ) {\displaystyle r(\pi -\phi )=r(\phi )} será simétrica em torno do raio vertical (90º/270º) e se r ( ϕ − α ) = r ( ϕ ) {\displaystyle r(\phi -\alpha )=r(\phi )} será rotacionalmente simétrica em α {\displaystyle \alpha } no sentido horário ou no sentido anti-horário em torno do polo.
Círculo
A equação geral para um círculo com centro em ( r 0 , γ ) {\displaystyle (r_{0},\gamma )} e raio a {\displaystyle a} é: r 2 − 2 r r 0 cos ( ϕ − γ ) + r 0 2 = a 2 {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\phi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}} Isto pode ser simplificado de diversas maneiras, para se adequar a casos mais específicos, tais como a equação para um círculo com centro no polo e raio a {\displaystyle a} . Quando r 0 = a {\displaystyle r_{0}=a} , ou quando a origem se encontra no círculo, a equação se torna r = 2 a cos ( ϕ − γ ) {\displaystyle r=2a\cos(\phi -\gamma )} . No caso geral, a equação pode ser resolvida pra r {\displaystyle r} dado r = r 0 cos ( ϕ − γ ) + a 2 − r 0 2 sin 2 ( ϕ − γ ) {\displaystyle r=r_{0}\cos(\phi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\phi -\gamma )}}} ,
Rosa polar
Uma rosa polar é uma famosa curva matemática que parece como uma flor petalada e que pode ser expressa com uma simples equação polar, r ( ϕ ) = a cos ( k ϕ + γ 0 ) {\displaystyle r(\phi )=a\cos(k\phi +\gamma _{0})} para qualquer constante γ 0 {\displaystyle \gamma _{0}} (incluindo o 0). Se k {\displaystyle k} é um inteiro, esta equação produzirá uma rosa k-petalada se k {\displaystyle k} for ímpar, ou uma rosa 2k-petalada se k {\displaystyle k} for par. Se k {\displaystyle k} é racional, mas não inteiro, uma forma semelhante a uma rosa pode ser formada, porém com pétalas sobrepostas. Note que esta equação nunca define uma rosa com 2, 6, 10, 14, ... 4 l + 2 {\displaystyle 4l+2} ( l ∈ Z + {\displaystyle l\in \mathbb {Z} _{+}} ). A variável a {\displaystyle a} representa o tamanho das pétalas da rosa.
Linha
Linhas radiais (aquelas passando pelo polo) são representadas pela equação onde γ {\displaystyle \gamma } é o ângulo de elevação da linha; isto é, γ = a r c t a n ( m ) {\displaystyle \gamma =arctan(m)} onde m {\displaystyle m} é o declive da linha no sistema de coordenadas cartesiano. A linha não radial que cruza a linha radial que cruza a linha radial ϕ = γ {\displaystyle \phi =\gamma } perpendicularmente no ponto ( r 0 , γ ) {\displaystyle (r_{0},\gamma )} tem a equação r ( ϕ ) = r 0 sec ( ϕ − γ ) {\displaystyle r(\phi )={r_{0}}\sec(\phi -\gamma )} . Caso contrário, ( r 0 , γ ) {\displaystyle (r_{0},\gamma )} é o ponto em que a tangente intercepta o círculo imaginário de raio r 0 {\displaystyle r_{0}} .
Espiral de Arquimedes
A espiral de Arquimedes é uma famosa espiral que foi descoberta por Arquimedes, que pode também ser expressada com uma simples equação polar. É representada pela equação: r ( ϕ ) = a + b ϕ {\displaystyle r(\phi )=a+b\phi } Mudar o parâmetro a {\displaystyle a} irá virar a espiral, enquanto b {\displaystyle b} controla a distância entre os braços, que para uma espiral dada é sempre constante. A espiral de Arquimedes tem dois braços, um para ϕ > 0 {\displaystyle \phi >0} e um para ϕ < 0 {\displaystyle \phi <0} . Os dois braços são conectados suavemente no polo (ver espiral de Fermat). Tomar uma imagem espelhada de um braço através da linha 90º/270º produzirá o outro braço. Essa curva é notável como uma das primeiras curvas, depois das seções cônicas, a serem descritas em um tratado matemático, e como sendo um exemplo primal de uma curva que é mais bem descrita por uma equação polar do que por outros meios.
Seções cônicas
Uma seção cônica com um foco no polo e o outro em algum outro lugar na linha radial de 0º (de modo que o semieixo maior da cônica repouse no eixo polar) é dada por: r = l 1 − e cos ( ϕ ) {\displaystyle r={\frac {l}{1-e\cos(\phi )}}} onde e {\displaystyle e} é a excentricidade e l {\displaystyle l} é o semi-lactus rectum (a distância perpendicular em um foco do semieixo maior até a curva). Se e > 1 {\displaystyle e>1} , esta equação define uma hipérbole; se e = 1 {\displaystyle e=1} , define uma parábola; e se e < 1 {\displaystyle e<1} , define uma elipse. O caso especial e = 0 {\displaystyle e=0} resulta em um círculo de raio l {\displaystyle l} .
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Os gráficos de duas funções polares r = f ( θ ) {\displaystyle r=f(\theta )} e r = g ( θ ) {\displaystyle r=g(\theta )} têm interseções em 3 casos:
Imagem: Galopax · BY-SA · Openverse
Todo número complexo pode ser representado como um ponto no plano complexo e, portanto, pode ser expressado especificando as coordenadas cartesianas do ponto (chamado de forma retangular ou cartesiana) ou as coordenadas polares do ponto (denominada forma polar). O número complexo z {\displaystyle z} pode ser representado de forma retangular como onde i {\displaystyle i} é a unidade imaginária, ou pode ser alternativamente escrito na forma polar (através da fórmula de conversão dada acima) como z = r ⋅ ( cos φ + i sin φ ) {\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )} z = r e i φ {\displaystyle z=re^{i\varphi }} onde e {\displaystyle e} é o número de Euler, que é equivalente como mostrado pela fórmula de Euler. Note que esta fórmula, como todas as outras envolvendo exponenciais de ângulos, assume que o ângulo ϕ {\displaystyle \phi } é expresso em radianos. Para converter entre a forma retangular e forma polar de um número complexo, a fórmula de conversão dada na seção Conversão entre coordenadas polares e cartesianas pode ser usada.
Cálculo pode ser aplicado em equações expressas em coordenadas polares. A coordenada angular ϕ {\displaystyle \phi } é expresso em radianos ao longo dessa seção, que é uma escolha convencional quando se faz cálculo.
Cálculo diferencial
Usando x = r cos ( ϕ ) {\displaystyle x=r\cos(\phi )} e y = r sin ( ϕ ) {\displaystyle y=r\sin(\phi )} , pode-se derivar a relação entre derivadas nas coordenadas cartesianas e polares. Para uma função dada, u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)} , segue que (computando-se as derivadas totais) { r ∂ u ∂ r = r ∂ u ∂ x ∂ x ∂ r + r ∂ u ∂ y ∂ y ∂ r ∂ u ∂ ϕ = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ ϕ + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ ϕ {\displaystyle {\begin{cases}r{\frac {\partial u}{\partial r}}&=&r{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+r{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}\\{\frac {\partial u}{\partial \phi }}&=&{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \phi }}\end{cases}}} ,
Cálculo integral (comprimento de arco)
O comprimento de arco (comprimento de um segmento de linha) definido por uma função polar é encontrado por integração sobre a curva r ( ϕ ) {\displaystyle r(\phi )} . Deixe L {\displaystyle L} denotar esse comprimento ao longo da curva, começando do ponto A {\displaystyle A} até o ponto B {\displaystyle B} , onde esses pontos correspondem a ϕ = a {\displaystyle \phi =a} e ϕ = b {\displaystyle \phi =b} , respectivamente, de modo que 0 < b − a < 2 π {\displaystyle 0<b-a<2\pi } . O comprimento de L é dado pela seguinte integral L = ∫ a b [ r ( ϕ ) ] 2 + [ d r ( ϕ ) d ϕ ] 2 d ϕ {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\phi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\phi )}{d\phi }}\right]^{2}}}d\phi }
Cálculo integral (área)
Seja R {\displaystyle R} a região contida pela curva r ( ϕ ) {\displaystyle r(\phi )} e os raios ϕ = a {\displaystyle \phi =a} e ϕ = b {\displaystyle \phi =b} , onde 0 < b − a < 2 π {\displaystyle 0<b-a<2\pi } . Então, a área de R {\displaystyle R} é.mw-parser-output .flexquote{display:flex;flex-direction:column;background-color:#F1F1F1;border-left:3px solid #C7C7C7;font-size:100%;margin:1em 4em;padding:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.quote{width:100%}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.separator{border-left:1px solid #C7C7C7;border-top:1px solid #C7C7C7;margin:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.cite{text-align:right}@media all and (max-width:600px){.mw-parser-output .flexquote>.flex{flex-direction:column}}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .flexquote{background-color:transparent}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .flexquote{background-color:transparent}}
Cálculo vetorial
Cálculo vetorial também pode ser aplicado a coordenadas polares. Para movimento planar, seja r {\displaystyle r} a posição do vetor ( r cos ( ϕ ) , r sin ( ϕ ) ) {\displaystyle (r\cos(\phi ),r\sin(\phi ))} , com r {\displaystyle r} e ϕ {\displaystyle \phi } dependendo do tempo t {\displaystyle t} . r ^ = ( cos ( ϕ ) , sin ( ϕ ) ) {\displaystyle {\hat {r}}=(\cos(\phi ),\sin(\phi ))} ϕ ^ = ( − sin ( ϕ ) , cos ( ϕ ) ) = k ^ × r ^ {\displaystyle {\hat {\phi }}=(-\sin(\phi ),\cos(\phi ))={\hat {k}}\times {\hat {r}}} no plano de movimento perpendicular a direção radial, onde k ^ {\displaystyle {\hat {k}}} é um vetor unitário normal ao plano de movimento. Então
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O sistema de coordenadas polares é estendido para três dimensões com dois sistemas distintos de coordenadas, o sistema cilíndrico e o sistema esférico.
Imagem: be▲-t · BY-NC-ND · Openverse
Coordenadas polares são bidimensionais e portanto devem ser usadas somente quando as posições do ponto repousam em um único plano bidimensional. Elas são mais apropriadas em qualquer contexto onde o fenômeno sendo considerado é inerentemente amarrado na direção e tamanho de um ponto central. Por exemplo, os exemplos acima mostram como equações polares elementares são suficientes para definir curvas - tais como a espiral de Arquimedes - cujas equações nas coordenadas cartesianas seriam muito mais intrincadas. Além disso, muitos sistemas físicos - tais como os relacionados ao movimento dos corpos ao redor de um ponto central ou com um fenômeno originado de um ponto central - são simples e mais intuitivos para modelar usando coordenadas polares. A motivação inicial para a introdução do sistema polar foi o estudo de movimento circular e orbital.
Posição e navegação
Coordenadas polares são usadas frequentemente em navegação uma vez que o destino ou direção de viagem pode ser dada como um ângulo e distância do objeto sendo considerado. Por exemplo, aeronaves usam uma versão ligeiramente modificada das coordenadas polares para navegação. Nesse sistema, o raio 0º é geralmente chamado de direção 360, e os ângulos continuam no sentido horário, como no sistema matemático. Direção 360 corresponde ao norte magnético, enquanto direções 90, 180 e 270 correspondem ao leste, sul e oeste magnéticos, respectivamente. Portanto, uma aeronave viajando a 5 milhas náuticas para leste estará viajando 5 unidades na direção 90 (pronunciado zero-niner-zero pelo controle de tráfego aéreo).
Modelagem
Sistemas mostrando simetria radial fornecem configurações naturais para o sistema de coordenadas polares, com um ponto central atuando como polo. Um exemplo desse uso é a equação de fluxo de água subterrânea quando aplicada a poços com simetria radial. Sistemas com uma força radial também são bons candidatos para o uso das coordenadas polares. Esses sistemas incluem campos gravitacionais, que obedecem a lei do quadrado inverso, assim como sistemas com fontes pontuais, tais como antenas de radio. Sistemas com assimetria radial também podem ser modelados com coordenadas polares. Por exemplo, microfones com padrão pickup ilustram a resposta proporcional a um som de entrada de uma direção dada, e estes padrões podem ser representados como curvas polares. A curva para um microfone de padrão cardioide, o microfone unidirecional mais comum, pode ser representada como r = 1 + sin ( ϕ ) 2 {\displaystyle r={\frac {1+\sin(\phi )}{2}}} no desenho da sua frequência alvo. O padrão muda omnidirecionalmente em frequências mais baixas.
