Característica de Euler
Em matemática, e mais especificamente na topologia algébrica, a característica de Euler é um invariante topológico, um número que descreve a forma ou a estrutura de um espaço topológico independentemente da forma como ela é dobrada. Este invariante foi descoberto por Leonhard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré e costuma ser denotado por .
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A característica de Euler de um complexo simplicial M {\displaystyle M\,} é dada por χ ( M ) = n 0 − n 1 + n 2 − n 3 + ⋯ {\displaystyle \chi (M)=n_{0}-n_{1}+n_{2}-n_{3}+\cdots } onde n k {\displaystyle n_{k}\,} é o número de células de dimensão k {\displaystyle k\,} .
A característica de Euler de uma superfície S {\displaystyle S\,} é dada por χ ( S ) = V − A + F {\displaystyle \chi (S)=V-A+F\,} , onde V , A {\displaystyle V,A\,} e F {\displaystyle F\,} são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de S {\displaystyle S\,} . Em particular a característica de Euler: e em geral χ ( S ) = 2 − 2 g {\displaystyle \chi (S)=2-2g\,} , onde g {\displaystyle g\,} é o género de S {\displaystyle S\,} , quando orientável e compacta.
Exemplos de poliedros convexos
A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera (ou hiperesfera).
Pela dualidade de Poincaré, a característica de Euler de uma variedade fechada e compacta de dimensão ímpar é nula.
