Cubo

Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se: Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo: Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo. Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:

Sendo n {\displaystyle n} o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por: Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se: Logo, substituindo n {\displaystyle n} por 4 {\displaystyle 4} , nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas. E são elas:

Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a área de uma de suas faces e multiplicar por 6. Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo l {\displaystyle l} é dada por l 2 {\displaystyle l^{2}} e supondo que cada aresta do cubo tenha medida a {\displaystyle a} , concluí-se que a área de cada face (quadrado) será a 2 {\displaystyle a^{2}} . Logo a área total da superfície do cubo será 6 a 2 {\displaystyle 6a^{2}} .

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É possível obter a diagonal do cubo utilizando o Teorema de Pitágoras. Basta descobrir o valor da diagonal de uma de suas faces em função do valor da aresta a {\displaystyle a} e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo. onde a {\displaystyle a} representa a medida da aresta do cubo e A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto: Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras: em que A C ′ ¯ {\displaystyle {\overline {AC'}}} representa a diagonal do cubo, a {\displaystyle a} representa a aresta do cubo e A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} a diagonal de uma das faces. Substituindo A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} por a 2 {\displaystyle a{\sqrt {2}}} : Ou seja, a diagonal do cubo é dada por a 3 {\displaystyle a{\sqrt {3}}} .

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Sendo um prisma, o volume do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela altura. Assim, onde V {\displaystyle V} representa o volume, A b {\displaystyle Ab} a área da base e h {\displaystyle h} a altura. Como a base é um quadrado de lado a {\displaystyle a} e a altura também vale a {\displaystyle a} (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se: Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta 2 a {\displaystyle 2a} , o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:

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Caso a esfera esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do raio da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do diâmetro da esfera. Utilizando r {\displaystyle r} para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:

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Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera. Se R {\displaystyle R} representa o raio da esfera circunscrita ao cubo, 2 R {\displaystyle 2R} representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:

O poliedro dual do cubo é o octaedro regular. Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.

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Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada cateto irá medir a metade da aresta a {\displaystyle a} do cubo. Fixando x {\displaystyle x} para representar a hipotenusa (medida da aresta do octaedro), obtém-se: Portanto, a medida da aresta do octaedro é a 2 2 {\displaystyle {\dfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}} .