Pirâmide
Uma pirâmide é um sólido geométrico formado pela reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo e outra num polígono dado sobre um plano fixo que não contém . Como exemplos das pirâmides da geometria espacial temos as pirâmides do Egito, uma das sete maravilhas do mundo antigo.
Uma pirâmide é a reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo V {\displaystyle V} (vértice) e outra sobre um polígono (base) pertencente a um plano que não contém V {\displaystyle V} . Equivalentemente, é um poliedro com uma face poligonal (base) e demais faces triangulares (faces laterais), as quais tem exatamente um ponto em comum (vértice). Em alguns textos, o termo pirâmide é usado de forma mais abrangente, significando a reunião de todas as semirretas que tem origem em um ponto fixo V {\displaystyle V} e que passam por uma região poligonal que não contém V {\displaystyle V} . Isto é, também, conhecido como pirâmide ilimitada. Quando a região poligonal é convexa, também usamos os termos ângulo poliédrico ou ângulo sólido.
Classificação
Uma pirâmide é dita ser convexa quando sua base é um polígono convexo. É dita ser reta quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano que contém sua base é o centro da base. Adicionalmente, uma pirâmide é dita ser regular quando é reta e o polígono da base é regular. Uma pirâmide que não é reta é dita ser oblíqua. Pirâmides também são classificadas quanto a sua natureza. Uma pirâmide de base triangular é chamada de pirâmide triangular (ou tetraedro). Caso a base seja um quadrilátero, a pirâmide é dita ser quadrangular. Analogamente, definimos as pirâmides pentagonal, hexagonal, etc.
Elementos
Os seguintes elementos são comumente identificados em uma pirâmide:
Altura e Apótema
A altura de uma pirâmide é a distância h {\displaystyle h} entre o vértice e o plano da base. Se a pirâmide for reta, então h {\displaystyle h} é igual à distância do centro da base ao vértice da pirâmide. No caso de uma pirâmide regular, chama-se de apótema lateral a altura de qualquer de uma de suas faces laterais. Apótema da base é a apótema do polígono regular que forma a base da pirâmide.
A superfície (ou superfície total) de uma pirâmide é a união de todas as suas faces. A união somente das faces laterais é chamada de superfície lateral. Desta forma, a área da superfície lateral é a soma das áreas dos triângulos que a formam. A área da superfície total é a área da superfície lateral somada a área da base da pirâmide. No caso de uma pirâmide regular, podemos verificar diretamente que a área da superfície lateral é dada por: A l = n b ⋅ a l 2 {\displaystyle A_{l}=n{\frac {b\cdot a_{l}}{2}}} onde, n {\displaystyle n} é o número de arestas do polígono da base, b {\displaystyle b} é o comprimento de uma aresta da base e a l {\displaystyle a_{l}} é o comprimento da apótema lateral da pirâmide. Segue que a área da superfície total da pirâmide é dada por: A t = A b + A l {\displaystyle A_{t}=A_{b}+A_{l}} , onde, A b {\displaystyle A_{b}} é a área de sua base.
Volume de um tetraedro
V = A b ⋅ h 3 {\displaystyle V={\frac {A_{b}\cdot h}{3}}} onde, A b {\displaystyle A_{b}} é a área de sua base e h {\displaystyle h} é sua altura. Com efeito, todo tetraedro pode ser unido a dois tetraedros congruentes formando um prisma de área da base A b {\displaystyle A_{b}} e altura h {\displaystyle h} . Ou seja, o volume do tetraedro é um terço do volume do prisma formado.
Volume de uma pirâmide
O volume de uma pirâmide qualquer é dado por: V = A b ⋅ h 3 {\displaystyle V={\frac {A_{b}\cdot h}{3}}} onde, A b {\displaystyle A_{b}} é a área de sua base e h {\displaystyle h} é sua altura. De fato, toda pirâmide pode ser particionada em um conjunto finito de tetraedros de vértice igual ao da pirâmide e cujas bases pertencem à base da mesma.
