Conjunto convexo
Em um espaço euclidiano, uma região convexa é uma região onde, para cada par de pontos dentro da região, cada ponto no segmento de reta que une o par também está dentro da região. Por exemplo, um cubo sólido é um conjunto convexo, mas tudo o que é oco ou tem um recuo, por exemplo, uma forma crescente, não é convexo. De forma geral, em geometria convexa, um conjunto convexo é um subconjunto de um espaço afim que é fechado sob combinações convexas. O limite de um conjunto convexo é sempre uma curva convexa. A interseção de todos os conjuntos convexos contendo um determinado subconjunto A do espaço euclidiano é chamada de invólucro convexo ou envoltória convexa de A. É o menor conjunto convexo contendo A.
Imagem: Helder · BY-SA · Openverse
Uma combinação convexa de um conjunto de pontos z 1 , z 2 , … , z n ∈ R m {\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}\in \mathbb {R} ^{m}} é um ponto z ∈ R m {\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{m}} que satisfaz z = ∑ j = 1 n t j z j {\displaystyle z=\sum _{j=1}^{n}t_{j}z_{j}} onde t j ≥ 0 , ∑ j = 1 n t j = 1 {\displaystyle t_{j}\geq 0,\sum _{j=1}^{n}t_{j}=1} Por exemplo, para m = 2 {\displaystyle m=2} , o conjunto de todas as combinações convexas possíveis é o segmento de reta entre os dois pontos. Um subconjunto S de R m {\displaystyle S{\mbox{ de }}\mathbb {R} ^{m}} é dito convexo se, para cada par de pontos s ∈ S {\displaystyle s\in S} , S {\displaystyle S} também contém todos pontos do segmento de reta ligando tais pontos. Isto é, S {\displaystyle S} é um conjunto convexo se S {\displaystyle S} contém todas combinações convexas de todos seus pontos.
