Espaço compacto
Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de Émile Borel e Henri Lebesgue e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por sequencialmente compacto, enumeravelmente compacto e finalmente chegando na definição empregada hoje.
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Um recobrimento para um conjunto X {\displaystyle X} é uma coleção R {\displaystyle {\mathcal {R}}} de subconjuntos de X {\displaystyle X} tal que ⋃ R = X {\displaystyle \bigcup {\mathcal {R}}=X} . Um subrecobrimento de R {\displaystyle {\mathcal {R}}} é uma coleção S ⊆ R {\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {R}}} que também é um recobrimento de X {\displaystyle X} , i.e. ⋃ S = X {\displaystyle \bigcup {\mathcal {S}}=X} . Diz-se que um espaço topológico X {\displaystyle X} é compacto se possuir a propriedade de Hausdorff e qualquer recobrimento por abertos de X {\displaystyle X} admitir um subrecobrimento finito. O leitor deve estar atento que a escola americana define espaço compacto como espaços em que todo recobrimento por abertos (do espaço em questão) admite subrecobrimento finito, o que é chamado de quase-compacto. A definição usando a Espaço Hausdorff é uma característica das escolas francesa, polonesa e russa.
