Determinante
Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. O determinante de uma matriz é denotado por , ou .
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Supondo que A {\displaystyle A} é uma matriz quadrada com n {\displaystyle n} linhas e n {\displaystyle n} colunas, ou seja, o determinante de A {\displaystyle A} pode ser indicado por det A {\displaystyle \det A} ou diretamente em termos das entradas da matriz, escrevendo-se barras em vez de colchetes: Existem várias maneiras equivalentes de definir o determinante de A {\displaystyle A} . Talvez a maneira mais simples de definir o determinante seja de maneira recursiva considerando os elementos na primeira linha os respectivos menores: começando pela esquerda, multiplica-se o primeiro elemento pelo menor, subtrai-se o produto do próximo elemento e seu menor e segue-se adicionando e subtraindo alternadamente esses produtos até que todos os elementos na linha estejam esgotados. Por exemplo, para o caso de uma matriz de ordem 4: Assim, para o procedimento acima ser consistente, basta definir o determinante de uma matriz de ordem 1 como a própria entrada da matriz. Para uma matriz de ordem 3, tem-se
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Historicamente [nota 1], os determinantes eram usados muito antes das matrizes: originalmente, um determinante era definido como uma propriedade de um sistema de equações lineares. O determinante identifica se o sistema possui uma solução exclusiva (que ocorre precisamente se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero). Os determinantes foram usados pela primeira vez no livro de matemática chinês Os nove capítulos da arte matemática (estudiosos chineses, por volta do século III a.C.). Na Europa, os determinantes de matriz de ordem 2 foram estudados por Cardano no final do século XVI e os maiores por Leibniz. No Japão, Seki Takakazu é creditado pela descoberta do resultante e do determinante (inicialmente em 1683, mas a versão completa até 1710). Na Europa, Cramer (1750) acrescentou à teoria, relacionando o determinante a conjuntos de equações. A lei de recorrência foi anunciada pela primeira vez por Bézout (1764).
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Regra de Chiò
O teorema de Jacobi (propriedade 14 acima) ajuda na formulação da regra de Chiò, que permite reduzir em um a ordem da matriz e facilitar o cálculo do determinante. A regra consiste em suprimir a primeira linha e a primeira coluna de uma matriz A {\displaystyle A} , cujo elemento a 11 {\displaystyle a_{11}} é igual a 1 {\displaystyle 1} e, para cada elemento restante, subtrair o produto dos elementos nas extremidades das linha e coluna suprimidas, ou seja, substituir por: a n n − ( a n 1 ⋅ a 1 n ) {\displaystyle a_{nn}-(a_{n1}\cdot a_{1n})} . A nova matriz possui o mesmo determinante que a anterior: No caso de a matriz A {\displaystyle A} não ter a 11 = 1 {\displaystyle a_{11}=1} , pode-se utilizar as propriedades 10, 11 ou 14 para se obter uma nova matriz cujo elemento da primeira linha e da primeira coluna é 1 {\displaystyle 1} .
Complemento de Schur
A identidade a seguir vale para um complemento Schur de uma matriz quadrada. O complemento de Schur surge como resultado da eliminação gaussiana em blocos, ao se multiplicar uma matriz M {\displaystyle M} , pela direita, por uma matriz triangular inferior em bloco Aqui I p {\displaystyle I_{p}} indica a matriz identidade p × p {\displaystyle p\times p} . Após multiplicação com a matriz L {\displaystyle L} , o complemento de Schur aparece no bloco superior p × p {\displaystyle p\times p} . A matriz produto é Ou seja, foi efetuada uma decomposição gaussiana de modo que, como a primeira e a terceira matrizes que aparecem no lado direito da igualdade têm determinante igual a 1,
Teorema do determinante de Sylvester
O teorema do determinante de Sylvester afirma que para uma matriz A {\displaystyle A} , m × n {\displaystyle m\times n} , e uma uma matriz B {\displaystyle B} , n × m {\displaystyle n\times m} , (de modo que A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} tenham dimensões que permitam que sejam multiplicadas em qualquer ordem, formando uma matriz quadrada): onde I m {\displaystyle I_{m}} e I n {\displaystyle I_{n}} são as matrizes identidade de ordens m {\displaystyle m} e n {\displaystyle n} , respectivamente. A partir deste resultado geral, seguem várias consequências:
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Determinante de uma matriz de ordem 1
O determinante da matriz A {\displaystyle A} de ordem n = 1 , {\displaystyle n=1,} é o própria entrada da matriz, ou seja, para uma matriz quadrada A = [ a 11 ] {\displaystyle A=[a_{11}]} , tem-se det ( A ) = a 11 {\displaystyle \det(A)=a_{11}} . Por exemplo, para A = ( 3 ) , {\displaystyle A=(3),} segue que det ( A ) = 3. {\displaystyle \det(A)=3.}
Determinante de uma matriz de ordem 2
O determinante de uma matriz de ordem 2 é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária: det ( a b c d ) = a d − b c . {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc.} Por exemplo, o determinante da matriz ( 0 2 1 − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2\\1&-1\end{pmatrix}}} é dado por: 0 ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 1 = 0 − 2 = − 2. {\displaystyle 0\cdot (-1)-2\cdot 1=0-2=-2.}
Determinante de uma matriz de ordem 3
Para calcular o determinante de matrizes de ordem 3, geralmente é utilizada a regra de Sarrus. O determinante é dado por det ( a b c d e f g h i ) = ( a e i + b f g + c d h ) − ( a f h + b d i + c e g ) . {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}=(aei+bfg+cdh)-(afh+bdi+ceg).} Por exemplo, para a matriz A = ( 1 3 10 − 1 1 10 0 2 10 ) , {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&3&10\\-1&1&10\\0&2&10\end{pmatrix}},} inicialmente são copiadas as duas primeiras colunas da matriz à direita da terceira coluna, de modo que seja obtida uma sequência de cinco colunas | 1 3 10 − 1 1 10 0 2 10 | 1 3 − 1 1 0 2 . {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&3&10\\-1&1&10\\0&2&10\end{vmatrix}}{\begin{matrix}1&3\\-1&1\\0&2\end{matrix}}.} Em seguida, são somados os produtos das três diagonais que partem de cima para baixo e subtraídos os produtos das três diagonais que vão de baixo para cima, obtendo-se: det ( A ) = ( 1 ) ( 1 ) ( 10 ) + ( 3 ) ( 10 ) ( 0 ) + ( 10 ) ( − 1 ) ( 2 ) − ( 1 ) ( 10 ) ( 2 ) − ( 3 ) ( − 1 ) ( 10 ) − ( 10 ) ( 1 ) ( 0 ) = 10 + 0 + ( − 20 ) − 20 − ( − 30 ) − 0 = 0. {\displaystyle \det(A)=(1)(1)(10)+(3)(10)(0)+(10)(-1)(2)-(1)(10)(2)-(3)(-1)(10)-(10)(1)(0)=10+0+(-20)-20-(-30)-0=0.}
Determinantes de matrizes de ordem maior que 3
Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior ou igual a 2 pode ser utilizado o teorema de Laplace. Esse teorema estabelece o seguinte: O complemento algébrico de um elemento a i , j {\displaystyle a_{i,j}} de uma matriz A {\displaystyle A} é o número A i , j = ( − 1 ) i + j C i , j , {\displaystyle A_{i,j}=(-1)^{i+j}\,C_{i,j},} sendo C i , j {\displaystyle C_{i,j}} o determinante da matriz que se obtém eliminando da matriz original a linha i {\displaystyle i} e a coluna j {\displaystyle j} . Na prática, o uso do teorema de Laplace equivale a reduzir o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n {\displaystyle n} ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem n − 1 {\displaystyle n-1} , podendo ser aplicado quantas vezes forem necessárias até serem obtidos determinantes mais fáceis de se calcular (de matrizes de ordem 2 ou 3). Fixando-se a linha i {\displaystyle i} , o teorema pode ser expresso pela fórmula:
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Uma forma mais simples de calcular o determinante de matrizes de grande porte é fazer o uso de algumas propriedades, de modo a reescrever uma matriz de modo que o determinante possa, em seguida, ser calculado imediatamente. Tendo em vista a propriedade 5, que afirma que o determinante de uma matriz triangular é igual ao seu termo principal (produto dos elementos da diagonal principal), a ideia é aplicar outras propriedades nas linhas (ou colunas) da matriz, de modo a triangularizá-la (transformá-la em uma matriz triangular). Este processo é conhecido como triangularização de matrizes, sendo equivalente ao processo de eliminação gaussiana. Para tal, observam-se as seguintes propriedades, conhecidas como operações elementares sobre as linhas de uma matriz, as quais podem ou não alterar o determinante: Para triangularizar a matriz basta atentar para as possíveis compensações, no determinante, provocadas pelas operações elementares utilizadas, não havendo uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído da seguinte ideia: a cada coluna, da primeira à penúltima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:
Exemplos
onde foram feitas, respectivamente, as seguintes operações elementares nas linhas: L 1 ← 1 2 L 1 , L 2 ← L 2 − 5. L 1 ∧ L 3 ← L 3 + 3. L 1 , L 2 ← 1 14 L 2 , L 3 ← L 3 + 6. L 2 , {\displaystyle L_{1}\leftarrow {\frac {1}{2}}L_{1},L_{2}\leftarrow L_{2}-5.L_{1}\land L_{3}\leftarrow L_{3}+3.L_{1},L_{2}\leftarrow {\frac {1}{14}}L_{2},L_{3}\leftarrow L_{3}+6.L_{2},} sendo a notação L i ← ◻ {\displaystyle L_{i}\leftarrow \Box } usada para indicar que a linha i {\displaystyle i} foi substituída pela combinação de linhas ◻ {\displaystyle \Box } . pode ser calculado a partir das seguintes matrizes: Aqui, B {\displaystyle B} é obtida a partir de A {\displaystyle A} pela adição de −1/2 vezes a primeira linha na segunda linha, de modo que det B = det A {\displaystyle \det B=\det A} . A matriz C {\displaystyle C} é obtida a partir de B {\displaystyle B} pela adição da terceira linha à primeira, de modo que det C = det B {\displaystyle \det C=\det B} . Finalmente, a matriz D {\displaystyle D} é obtida a partir de C {\displaystyle C} pela permuta entre as linhas 2 e 3, de modo que det D = − det C {\displaystyle \det D=-\det C} . Como D {\displaystyle D} é uma matriz triangular superior, o seu determinante é igual ao termo principal: ( − 2 ) ⋅ 2 ⋅ 4 , 5 = − 18 {\displaystyle (-2)\cdot 2\cdot 4,5=-18} . Portanto, det A = − det D = 18 {\displaystyle \det A=-\det D=18} .
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Se A {\displaystyle A} é uma matriz, de ordem n {\displaystyle n} , cujas entradas são números complexos e cujos n {\displaystyle n} autovalores são λ 1 , λ 2 , … , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}} , então o determinante de A {\displaystyle A} é o produto dos n {\displaystyle n} autovalores: O produto de todos os autovalores diferentes de zero é chamado de pseudo-determinante. Por outro lado, os determinantes podem ser usados para encontrar os autovalores da matriz A {\displaystyle A} : são as soluções da equação característica onde I {\displaystyle I} é a matriz de identidade da mesmo tamanho que A {\displaystyle A} e λ {\displaystyle \lambda } é um número (escalar) que resolve a equação (não existem mais que n {\displaystyle n} soluções, onde n {\displaystyle n} é o tamanho de A {\displaystyle A} ). Uma matriz hermitiana é positiva definida se todos os seus autovalores forem positivos. O critério de Sylvester afirma que isso é equivalente ao fato dos determinantes das submatrizes
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Independência Linear
O determinante[nota 2] de uma matriz (com entradas reais ou complexas, por exemplo) é zero se e somente se os vetores de coluna (ou os vetores de linha) da matriz forem linearmente dependentes. Assim, determinantes podem ser usados para caracterizar vetores linearmente dependentes. Por exemplo, dados dois vetores linearmente independentes v 1 , v 2 {\displaystyle v_{1},v_{2}} em R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , um terceiro vetor v 3 {\displaystyle v_{3}} está no plano gerado pelos dois primeiros vetores se o determinante da matriz de ordem 3 que consiste nos três vetores for zero. A mesma ideia também é usada na teoria das equações diferenciais: dadas n {\displaystyle n} funções f 1 ( x ) , . . . , f n ( x ) {\displaystyle f_{1}(x),...,f_{n}(x)} (supostamente n − 1 {\displaystyle n-1} vezes diferenciáveis), o Wronskiano é definido como
Orientação de uma base
O determinante pode atribuir um número a cada sequência de n {\displaystyle n} vetores em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , usando a matriz quadrada cujas colunas (ou linhas) são os vetores. Por exemplo, uma matriz ortogonal com entradas em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} representa uma base ortonormal no espaço euclidiano. O determinante dessa matriz determina se a orientação da base é consistente ou oposta à orientação da base canônica. Se o determinante for +1, a base tem a mesma orientação. Se for -1, a base tem a orientação oposta. De modo geral, se o determinante de uma matriz A é positivo, A representa uma transformação linear que preserva a orientação (se A é uma matriz ortogonal 2 × 2 ou 3 × 3, representa uma rotação), enquanto que se for negativo, A altera a orientação da base.
Volume e determinante jacobiano
O valor absoluto do determinante de vetores reais é igual ao volume do paralelepípedo gerado por esses vetores. Como consequência, se f : R n → R n {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} é o mapeamento linear representado pela matriz A {\displaystyle A} e S {\displaystyle S} é qualquer subconjunto mensurável de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , o volume de f ( S ) {\displaystyle f(S)} é dado por | det ( A ) | {\displaystyle |\det(A)|} vezes o volume de S {\displaystyle S} . Em geral, se o mapeamento linear f : R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} é representado pela matriz A {\displaystyle A} , de ordem m × n {\displaystyle m\times n} , então o volume n {\displaystyle n} -dimensional de f ( S ) {\displaystyle f(S)} é dado por:
Determinante de Vandermonde (alternante)
O determinante de ordem 3 da matriz de Vandermonde é Em geral, o determinante de Vandermonde de ordem n {\displaystyle n} é onde o lado direito é o produto continuado de todas as diferenças que podem ser formadas a partir dos n ( n − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}} pares de números retirados de x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} , com a ordem das diferenças encontradas na ordem invertida dos sufixos envolvidos.
Circulantes
onde ω {\displaystyle \omega } e ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}} são as raízes cúbicas complexas de 1. Em geral, o determinante circulante de ordem n {\displaystyle n} é onde ω j n {\displaystyle \omega _{j}^{n}} é a n-ésima raiz de 1.
