Adição
Adição é uma das operações básicas da aritmética. Na sua forma mais simples, a adição combina dois números em um único número, denominado soma, total ou resultado. Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão, a adição de zero, um ou uma quantidade infinita de números pode ser definida.
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Comutatividade
A adição é comutativa, o que significa que se pode mudar a ordem dos termos em uma soma e ainda obter o mesmo resultado. Simbolicamente, se a e b são dois números quaisquer, então: O fato de que a adição é comutativa é conhecido como a "lei comutativa da adição" ou "propriedade comutativa da adição". Algumas outras operações binárias também são comutativas, como a multiplicação, mas muitas outras, como a subtração e a divisão, não são.
Associatividade
A adição é associativa, o que significa que, ao somar três ou mais números, a forma como os números são agrupados não altera o resultado. Como exemplo, se a expressão a + b + c deve ser definida para significar (a + b) + c ou a + (b + c)? Dado que a adição é associativa, a escolha da definição é irrelevante. Para quaisquer três números a, b e c, é verdade que (a + b) + c = a + (b + c). Por exemplo, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3). Quando a adição é usada juntamente com outras operações, a ordem das operações torna-se importante. Na ordem padrão das operações, a adição tem uma prioridade menor do que exponenciação, raízes enésimas, multiplicação e divisão, mas tem a mesma prioridade que a subtração.
Elemento identidade
Adicionar zero a qualquer número não muda o número; isso significa que zero é o elemento identidade para a adição e também é conhecido como a identidade aditiva. Em símbolos, para todo a, temos: Esta lei foi identificada pela primeira vez na obra de Brahmagupta Brahmasphutasiddhanta em 628 d.C., embora ele a tenha escrito como três leis separadas, dependendo se a é negativo, positivo ou zero, utilizando palavras em vez de símbolos algébricos. Mais tarde, matemáticos indianos refinaram o conceito; por volta do ano 830, Mahavira escreveu: "zero torna-se o mesmo que o que é adicionado a ele", correspondendo à afirmação unária 0 + a = a. No século XII, Bhaskara escreveu: "Na adição de zero, ou subtração dele, a quantidade, positiva ou negativa, permanece a mesma", correspondendo à afirmação unária a + 0 = a.
Sucessor
No contexto dos números inteiros, a adição de um também desempenha um papel especial: para qualquer inteiro a, o inteiro (a + 1) é o menor inteiro maior que a, também conhecido como o sucessor de a. Por exemplo, 3 é o sucessor de 2 e 7 é o sucessor de 6. Devido a essa sucessão, o valor de a + b também pode ser visto como o b-ésimo sucessor de a, tornando a adição uma sucessão iterada. Por exemplo, 6 + 2 é 8, porque 8 é o sucessor de 7, que é o sucessor de 6, tornando 8 o 2º sucessor de 6.
Unidades
Para somar numericamente quantidades físicas com unidades, elas devem ser expressas com unidades comuns. Por exemplo, adicionar 50 mililitros a 150 mililitros resulta em 200 mililitros. No entanto, se uma medida de 5 pés for estendida por 2 polegadas, a soma é 62 polegadas, uma vez que 60 polegadas é sinônimo de 5 pés. Por outro lado, geralmente não faz sentido tentar somar 3 metros e 4 metros quadrados, uma vez que essas unidades são incomparáveis; esse tipo de consideração é fundamental na análise dimensional.
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Se os termos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal mais, ou chus (em português arcaico) ("+"). Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências (...) para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100. De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo símbolo de somatório, que é a letra grega Sigma maiúscula. Isso é definido como: O subscrito i fornece o símbolo para uma variável, i. Aqui, i representa o índice do somatório; m é o limite inferior do somatório, e n é o limite superior do somatório. Assim, por exemplo: Podemos também considerar somas com uma quantidade infinita de termos, chamadas de séries infinitas. A diferença na notação seria o uso do símbolo de infinito (∞) no lugar dos limites inferior e/ou superior. A soma de tais séries é definida como o limite da soma dos n primeiros termos quando n cresce sem limites. Isto é:
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Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se m = n na definição acima, então há apenas um termo na soma; se m = n + 1, então não há nenhum. Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único x aparece numa soma n vezes, então a soma é nx, o resultado de uma multiplicação. Se n não é um número natural, então a multiplicação ainda pode fazer sentido, de modo que temos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia. Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de inverso aditivo, e a subtração, a operação inversa da adição. A versão mais geral destas ideias é a combinação linear, em que qualquer quantidade de termos é incluída em uma soma generalizada qualquer número de vezes.
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As identidades a seguir são bastante úteis: Em geral, a soma das n primeiras potências de m é onde B k {\displaystyle B_{k}} é o k-ésimo número de Bernoulli. As seguintes expressões são aproximações úteis (usando notação teta):
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Muitas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais, válida para qualquer função crescente f: Para aproximações mais gerais, ver a fórmula de Euler-Maclaurin.
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A adição também é usada na teoria musical dos conjuntos. George Perle fornece o exemplo seguinte: Assim, além de serem parte da família de intervalos-4, dó-mi também é parte da família soma-2 (com G♯ igual a 0). A linha de tonalidades para a Lyric Suite de Alban Berg, { 0 , 11 , 7 , 4 , 2 , 9 , 3 , 8 , 10 , 1 , 5 , 6 } {\displaystyle \{0,11,7,4,2,9,3,8,10,1,5,6\}} , é uma série de seis díades, todas somando 11. Se a linha é rotacionada e invertida, ela se torna { 0 , 6 , 5 , 1 , … } {\displaystyle \{0,6,5,1,\dots \}} , em que todas as díades somam 6.
