Conjunto
Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos, chamados de elementos, que compartilham uma característica comum. Esses elementos podem ser números, letras, pessoas ou qualquer outro objeto que se deseje agrupar. Por exemplo, o conjunto das vogais pode ser representado como .
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A teoria dos conjuntos é um dos pilares fundamentais da matemática moderna. Desenvolvida no final do século XIX pelo matemático Georg Cantor, ela fornece a base para diversos ramos da matemática, como a álgebra, a análise e a lógica.
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É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por: Observação: Na matemática, a expressão "tal que" é fundamental na representação de conjuntos por compreensão. Ela especifica uma condição que os elementos devem satisfazer para pertencer ao conjunto. Essa condição é geralmente indicada pelos símbolos " : {\displaystyle \colon } " (dois-pontos) ou " ∣ {\displaystyle \mid } " (barra vertical), ambos lidos como "tal que".
Pertinência de conjuntos
A pertinência é a relação que indica se um elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Utilizamos o símbolo ∈ {\displaystyle \in } para representar que um elemento pertence a um conjunto, e o símbolo ∉ {\displaystyle \notin } para indicar que não pertence. Por exemplo, 3 ∈ N {\displaystyle 3\in \mathbb {N} } significa que o número 3 pertence ao conjunto dos números naturais, enquanto − 2 ∉ N {\displaystyle -2\notin \mathbb {N} } indica que o número -2 não pertence a esse conjunto. Outros exemplos incluem: π ∈ R , 0 ∈ Z , 1 2 ∉ Z {\displaystyle \pi \in \mathbb {R} ,\quad 0\in \mathbb {Z} ,\quad {\frac {1}{2}}\notin \mathbb {Z} } É importante lembrar que essa relação é usada entre elementos e conjuntos. Não se deve usá-la para indicar a relação entre conjuntos e subconjuntos. Por exemplo, a expressão { 1 , 2 } ∈ N {\displaystyle \{1,2\}\in \mathbb {N} } está incorreta, pois { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} é um conjunto, e não um número natural.
Subconjuntos e superconjuntos
Em teoria dos conjuntos, os conceitos de subconjunto e superconjunto indicam relações de inclusão entre conjuntos: Essas relações podem ser próprias, quando um conjunto está estritamente dentro ou contém outro, ou impróprias, quando os conjuntos podem ser iguais. ⊂ {\displaystyle \subset } - Subconjunto próprio: A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} significa que todo elemento de A {\displaystyle A} está em B {\displaystyle B} , e A ≠ B {\displaystyle A\neq B} . ⊆ {\displaystyle \subseteq } - Subconjunto próprio ou impróprio: A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} significa que todo elemento de A {\displaystyle A} está em B {\displaystyle B} , podendo ser que A = B {\displaystyle A=B} .
Conjunto vazio
O conjunto vazio, denotado por ∅ {\displaystyle \emptyset } ou { } {\displaystyle \{\}} , é o conjunto que não possui nenhum elemento. Ele é considerado subconjunto de qualquer conjunto, pois não há nenhum elemento nele que possa violar a condição de inclusão. Seja A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}} . O conjunto vazio ∅ {\displaystyle \emptyset } é subconjunto de A {\displaystyle A} , ou seja, ∅ ⊆ A {\displaystyle \emptyset \subseteq A} é verdadeiro. Inclusive, ∅ ⊂ A {\displaystyle \emptyset \subset A} também é verdadiero, pois ∅ ≠ A {\displaystyle \emptyset \neq A} . No entanto, ∅ ⊃ A {\displaystyle \emptyset \supset A} é falso, já que o conjunto vazio não contém elemento algum.
Cardinalidade
Se um conjunto tem n {\textstyle n} elementos, onde n {\textstyle n} é um número natural (incluindo o 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com cardinalidade, ou número cardinal n {\textstyle n} . Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (aleph-0), ℵ 1 , ℵ 2 . . . . {\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2}....} Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto A {\displaystyle A} é denotada por | A | {\displaystyle |A|} . Se para dois conjuntos A {\displaystyle A} e B {\textstyle B} é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então | A | = | B | . {\displaystyle |A|=|B|.}
Conjunto potência ou das partes
O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A {\displaystyle A} é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de A {\displaystyle A} , denotado por P ( A ) . {\displaystyle P(A).} O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção. Sendo o conjunto dado A {\displaystyle A} finito, com n {\displaystyle n} elementos, prova-se que o número de subconjuntos, isto é, o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A {\displaystyle A} é 2 n , {\displaystyle 2^{n},} ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A {\displaystyle A} é igual a 2 n . {\displaystyle 2^{n}.} Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A {\textstyle A} e o conjunto { 0 , 1 } A , {\displaystyle \{0,1\}^{A},} é usual representar-se P ( A ) {\textstyle P(A)} por 2 A . {\displaystyle 2^{A}.}
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados: A × B = { ( a , b ) : a ∈ A ∧ b ∈ B } {\displaystyle A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}} A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto A + B = A × { 0 } ∪ B × { 1 } . {\displaystyle A+B=A\times \{0\}\cup B\times \{1\}.}
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De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar. Em uma expressão que envolve mais de dois conjuntos, deve-se seguir um conjunto de regras para estabelecer a ordem de execução das operações:
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O conjunto dos números naturais, denotado por N {\displaystyle \mathbb {N} } , é utilizado para a contagem. Em algumas definições, temos N = { 0 , 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}} , incluindo o zero, enquanto em outras N ∗ = N ∖ { 0 } = { 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} \setminus \{0\}=\{1,2,3,\dots \}} representa os naturais não nulos. O conjunto dos números inteiros, representado por Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , inclui todos os naturais, seus opostos e o zero: Z = { … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}} . As notações Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} e Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} indicam, respectivamente, os inteiros positivos e negativos, enquanto Z ∗ = Z ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}=\mathbb {Z} \setminus \{0\}} representa os inteiros não nulos.
