Anel comutativo

Nesta seção A denota um anel comutativo. Em contraste com corpos, onde cada elemento não nulo é invertível, a teoria de anéis é mais complicada. Existem várias noções para lidar com esta situação. Primeiro, um elemento a de A {\displaystyle A} é chamado unidade se ele possui inverso multiplicativo. Um elemento a {\displaystyle a} é chamado divisor de zero se existe um elemento b {\displaystyle b} do anel tal que a ⋅ b = 0 {\displaystyle a\cdot b=0} . Se A {\displaystyle A} não possui divisores de zero ele é chamado domínio integral pois ele lembra os inteiros sob alguns aspectos. Muitas das noções seguintes existem para anéis não necessariamente comutativos, mas as definições e propriedades são geralmente mais complicadas. Por exemplo, todos os ideais à esquerda são também ideais à esquerda e vice-versa, o que simplifica as coisas consideravelmente.

Como ocorre geralmente em álgebra, uma função f entre dois objetos que respeita as estruturas dos objetos em questão é chamada homomorfismo. No caso de anéis, um homomorfismo de anéis é uma aplicação f : A {\displaystyle A} → B tal que Estas condições garantem que f(0)=0, mas o requerimento que a identidade da multiplicação 1 é preservada sobre f não segue das duas primeiras propriedades. Numa situação destas B é também chamada uma A-álgebra, entendendo que b em B pode ser multiplicado por a de A pondo O núcleo e imagem de f são definidos por nuc(f) = {a ∈ A, f(a) = 0} e im (f) = f(A) = {f(a), a ∈ A}. Ambos núcleo e imagem são subanéis de A e B respectivamente, mas o núcleo é sempre um ideal de A e a imagem nem sempre é um ideal de B.

A estrutura externa de um anel comutativo é determinada considerando álgebra linear sobre este anel, ou seja, investigando a teoria de módulos, que são similares a espaços vetoriais, exceto pelo fato que a base não precisa ser necessariamente um corpo, mas podendo ser um anel A. A teoria dos A-módulos é significativamente mais complicada que a álgebra linear dos espaços vetoriais. Teoria de módulos tem dificuldades tais como módulos que não tem bases, módulos com posto (análogo à dimensão dos espaços vetoriais) que pode não ser bem definido e com submódulos de um módulo finitamente gerado que não são finitamente gerados (a menos que A seja noetheriano). Ideais em um anel A podem ser caracterizados como os A-módulos que são submódulos de A. Por outro lado, um bom entendimento dos A-módulos precisa de informação suficiente a respeito de A. Reciprocamente, no entanto, várias técnicas de álgebra comutativa que estudam a estrutura de A examinando seus ideais, procedem estudando seus módulos em geral.

Um anel é chamado Noetheriano (em homenagem a Emmy Noether, que desenvolveu este conceito) se cada cadeia ascendente de ideais é estacionária, ou seja, fica constante depois de algum índice n. Equivalentemente, qualquer ideal é finitamente gerado, ou, ainda equivalentemente, se submódulos de módulos finitamente gerados são finitamente gerados. Um anel é chamado Artiniano (em homenagem a Emil Artin) se cada cadeia descendente de ideais é estacionária. Apesar das duas condições parecerem simétricas, anéis noetherianos são muito mais gerais do que anéis artinianos. Por exemplo, Z é noetheriano, pois cada ideal pode ser gerado por um elemento, mas não é artiniano, como mostra a seguinte cadeia Na verdade, todo anel artiniano é noetheriano. Ser noetheriano é uma condição de finitude extremamente importante. A condição é preservada sobre operações que ocorrem frequentemente em geometria algébrica: se A é noetheriano, então também é noetheriano o anel de polinômios A[X1, X2, ..., Xn] (pelo Teorema da base de Hilbert), qualquer localização S−1A e qualquer quociente A/I.

A dimensão de Krull (ou simplesmente dimensão) dim A de um anel A é uma noção da medida do "tamanho" de um anel, grosso modo, contando os elementos independentes em A. Precisamente, ela é definida como o supremo dos comprimentos n das cadeias de ideais primos Por exemplo, um corpo tem dimensão zero, pois seu único ideal primo é o ideal nulo. Também é conhecido que um anel comutativo é artiniano se, e só se, ele é noetheriano e tem dimensão zero (ou seja, todos os seus ideais primos são maximais). Os inteiros tem dimensão 1: qualquer cadeia de ideais primos é da forma A dimensão se comporta bem se os anéis em questão são noetherianos: a igualdade esperada se verifica neste caso (em geral, só se tem A + 1 ≤ dim A[X] ≤ 2 · dim A + 1). Além disso, como a dimensão depende apenas da cadeia maximal, a dimensão de A é o supremo de todas as dimensões das localizações Ap, onde p é um ideal primo arbitrário. Intuitivamente, a dimensão de A é uma propriedade local do espectro de A. Assim, a dimensão é frequentemente considerada apenas para anéis locais, também como anéis noetherianos em geral podem ter dimensão infinita, mesmo com suas localizações tendo dimensão finita.

Existem diversas maneiras de construir novos anéis a partir de outros já conhecidos. O objetivo de tais construções é geralmente melhorar certas propriedades do anel e assim tornar ele mais compreensível. Por exemplo, um domínio de integridade que é integralmente fechado no seu corpo de frações é chamado normal. Esta é uma propriedade desejável, por exemplo qualquer anel normal de dimensão 1 é necessariamente regular. O processo de tornar um anel normal é conhecido como normalização.

Pelo Teorema de Wedderburn, cada anel de divisão finito é comutativo, e portanto é um corpo finito. Outra condição que garante a comutatividade de um anel, devido a Jacobson, é a seguinte: para cada elemento r de A existe um inteiro n > 1 tal que rn = r. Se, r2 = r para cada r, o anel é chamado de anel booliano. Condições mais gerais que garantem que um anel é comutativo também são conhecidas.