Anel artiniano
Em álgebra abstrata, um anel artiniano é um anel que satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais. Eles também são chamados de anéis de Artin e são assim chamados em homenagem a Emil Artin, que foi o primeiro a descobrir que a condição de cadeia descendente para ideias generaliza simultaneamente os anéis finitos e anéis que são espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo. A definição de anéis artinianos pode ser reformulada trocando-se a condição de cadeia descendente por uma noção equivalente: a condição minimal.
O anel dos inteiros Z {\displaystyle \mathbb {Z} } é um anel noetheriano que não é artiniano.
Seja M {\displaystyle M} um módulo à esquerda sobre um anel artiniano. Então as seguintes condições são equivalentes:
Seja A um anel comutativo noetheriano com unidade. Então as seguintes condições são equivalentes. Seja k um corpo e A uma k-álgebra finitamente gerada. Então A é artiniana se e somente se A é finitamente gerada como k-módulo. Um anel local artiniano é completo. Um quociente e uma localização de um anel artiniano é artiniano.
