Anel noetheriano
Em álgebra abstracta, um anel noetheriano é um anel comutativo que satisfaz a condição da cadeia ascendente para ideais. O termo noetheriano é uma homenagem à matemática alemã Emmy Noether.
Existem outras definições equivalentes para anel noetheriano: Resultados similares existem para anéis noetherianos à esquerda e à direita. É sabido que para um anel comutativo R , {\displaystyle R,} se todo ideal primo for finitamente gerado, então R {\displaystyle R} é noetheriano.
A propriedade noetheriana é central na teoria dos anéis e em áreas que utilizam de forma intensiva o conceito de anéis, como a geometria algébrica e a teoria de singularidades. A razão para isto é que a propriedade noetheriana é uma espécie de conceito de finitude na teoria dos anéis. Por exemplo, a propriedade noetheriana de que todo anel de polinômios com coeficientes em um dado corpo é noetheriano permite-nos provar que um sistema infinito de equações polinomiais pode ser substituído por um sistema finito de equações polinomiais com as mesmas soluções. Como outra aplicação, mencionamos o teorema do ideal principal de Krull: todo ideal principal em um anel comutativo noetheriano tem altura um. Este foi o primeiro resultado a sugerir que os anéis noetherianos constituem uma profunda teoria da dimensão.
Temos também os seguintes exemplos de anéis que não são noetherianos:
