Anel de polinômios
O anel de polinômios com coeficientes em um anel qualquer e qualquer número de indeterminadas é a generalização dos anéis como , dos polinômios com coeficientes reais p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn.
Os polinômios mais conhecidos são os que têm coeficientes inteiros. Por exemplo, tomando A {\displaystyle A} como o anel Z {\displaystyle \mathbb {Z} } e S = { x , y } {\displaystyle ~S=\{x,y\}} , um elemento de Z [ S ] {\displaystyle \mathbb {Z} [S]} pode ser Note-se que, se bem que o conjunto de indeterminadas S {\displaystyle S} possa ser um conjunto infinito, cada polinômio contém um número finito de termos. Se S = { x 1 , … , x n } {\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}} , então se pode escrever A [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]} no lugar de A [ S ] {\displaystyle A[S]} . Assim, A [ x ] {\displaystyle A[x]} é um anel de polinômios em uma só indeterminada x {\displaystyle x} . Pode notar-se facilmente que cada elemento de a ∈ A {\displaystyle a\in A} é refletido em A [ S ] {\displaystyle A[S]} como o monômio a. É possível mostrar que A é um sub-anel de A[S] (mais precisamente, A é isomorfo a um sub-anel de A[S]).
Fatos de interesse sobre anéis de polinômios têm que ver com as propriedades do mesmo a partir do anel no que têm seus coeficientes. Por exemplo, quando A {\displaystyle A} é um domínio de integridade, A [ S ] {\displaystyle A[S]} também o é, e as unidades de A [ S ] {\displaystyle A[S]} são as mesmas que as de A {\displaystyle A} . Pelo contrário A [ S ] {\displaystyle A[S]} nunca será um corpo, não importando que A {\displaystyle A} o seja ou não, pois ainda que as unidades de A [ S ] {\displaystyle A[S]} sejam as mesmas que as de A {\displaystyle A} , A {\displaystyle A} é tão somente um sub-anel de A [ S ] {\displaystyle A[S]} . Entretanto, o anel A [ S ] {\displaystyle A[S]} é um domínio de integridade se A {\displaystyle A} o é, logo, dado o caso, se pode construir o corpo de quocientes de A [ S ] {\displaystyle A[S]} (i.e. o corpo de frações de polinômios), que se nota comumente por A ( S ) {\displaystyle A(S)} .
Os monômios puros
A definição formal dos anéis de polinômios parte da definição dos monômios puros (sem coeficientes em um anel). Note-se que se S {\displaystyle S} é um conjunto e, por exemplo, x , y , z ∈ S {\displaystyle x,y,z\in S} , um monômio a partir de S {\displaystyle S} pode ser No monômio puro anterior, cada um dos elementos x , y , z ∈ S {\displaystyle x,y,z\in S} tem um expoente natural. Portanto, podemos considerar a cada monômio com indeterminadas em S {\displaystyle S} como uma aplicação u : S ⟶ N {\displaystyle u:S\longrightarrow \mathbb {N} } (aqui e no resto do artigo consideramos que N {\displaystyle \mathbb {N} } inclui o zero). O monômio seria entendido então como a aplicação u {\displaystyle u} dada por u ( x ) = 2 {\displaystyle u(x)=2} , u ( y ) = 1 {\displaystyle u(y)=1} , u ( z ) = 3 {\displaystyle u(z)=3} e onde u {\displaystyle u} se anula para todos os demais elementos (se estes existem) de S {\displaystyle S} . Observar que um monômio puro é o produto de um número finito de indeterminadas. Ainda que S {\displaystyle S} seja infinito, podemos obter um monômio u {\displaystyle u} fazendo que u ( s ) {\displaystyle u(s)} seja nulo para todas aquelas indeterminadas que não queremos que apareçam no monômio. Por exemplo, se S = { x , y , z } {\displaystyle S=\{x,y,z\}} , o monômio
Polinômios com coeficientes em um anel
Para dar andamento à definição de um anel de polinômios, observemos que um polinômio, como , é uma soma finita de monômios puros (pre-)multiplicados por coeficientes em um anel (no caso de os coeficientes são inteiros). Assim, por exemplo, é suficiente associar o polinômio com uma aplicação p : M ⟶ Z {\displaystyle p:M\longrightarrow \mathbb {Z} } , onde S = { x , y } {\displaystyle S=\{x,y\}} , tal que p {\displaystyle p} toma o valor do coeficiente correspondente quando se valora em um monômio u ∈ M {\displaystyle u\in M} . Sejam S {\displaystyle S} um conjunto, A {\displaystyle A} um anel e M {\displaystyle M} o conjunto de monômios puros da definição . O anel de polinômios com indeterminadas em S {\displaystyle S} sobre A {\displaystyle A} é o conjunto A [ S ] {\displaystyle A[S]} de todas as aplicações p : M ⟶ A {\displaystyle p:M\longrightarrow A} tais que o conjunto { u ∈ M ∣ p ( u ) ≠ 0 } {\displaystyle \{u\in M\mid p(u)\neq 0\}} é finito.
Operações sobre A
A adição sobre A [ S ] {\displaystyle A[S]} claramente pode ser definida assim: Sejam p , q {\displaystyle p,q} polinômios de A [ S ] {\displaystyle A[S]} . Se define p + q {\displaystyle p+q} como a aplicação dada por para todo monômio puro u ∈ M {\displaystyle u\in M} . Fica claro que p + q ∈ A [ S ] {\displaystyle p+q\in A[S]} . Esta definição se interpreta como a redução dos termos semelhantes (i.e. os coeficientes de um mesmo monômio u {\displaystyle u} ) de p {\displaystyle p} e q {\displaystyle q} . Quando multiplicamos polinômios, costumamos somar os termos semelhantes que surjam no produto para obter um polinômio o mais reduzido possível. Em vista disto, temos a definição da multiplicação em A [ S ] {\displaystyle A[S]} :
