Domínio principal
Em matemática, um domínio de ideais principais, ou DIP, é um domínio de integridade no qual todo ideal é principal. Alguns autores, como Bourbaki, referem-se aos DIPs como anéis principais.
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Contraexemplos
Exemplos de domínios de integridade que não são DIPs:
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O resultado principal é o teorema de estrutura: Se R é um domínio de ideais principais e M é um R-módulo finitamente gerado, então M {\displaystyle M} é uma soma direta de módulos cíclicos, ou seja, módulos com um gerador. Os módulos cíclicos são isomórficos a R / x R {\displaystyle R/xR} para algum x ∈ R {\displaystyle x\in R} (note que x {\displaystyle x} pode ser igual a 0 {\displaystyle 0} , caso em que R / x R {\displaystyle R/xR} é R {\displaystyle R} ). Se M é um módulo livre sobre um domínio de ideais principais R, então todo submódulo de M é novamente livre. Isso não vale para módulos sobre anéis arbitrários, como mostra o exemplo ( 2 , X ) ⊆ Z [ X ] {\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]} de módulos sobre Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} .
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Em um domínio de ideais principais, quaisquer dois elementos a,b têm um máximo divisor comum, que pode ser obtido como um gerador do ideal (a, b). Todos os domínios euclidianos são domínios de ideais principais, mas a recíproca não é verdadeira. Um exemplo de um domínio de ideais principais que não é um domínio euclidiano é o anel Z [ 1 2 ( 1 + − 19 ) ] {\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-19}}~\!{\bigr )}{\bigr ]}} , isso foi provado por Theodore Motzkin e foi o primeiro caso conhecido. Neste domínio não existem q e r, com 0 ≤ |r| < 4, tal que ( 1 + − 19 ) = ( 4 ) q + r {\displaystyle {\bigl (}1+{\sqrt {-19~\!}}{\bigr )}=(4)q+r} , apesar de 1 + − 19 {\displaystyle 1+{\sqrt {-19}}} e 4 {\displaystyle 4} terem um máximo divisor comum de 2. Todo domínio de ideais principais é um domínio de fatoração única (DFU). A recíproca não é verdadeira, pois para qualquer DFU K, o anel K[X, Y] de polinômios em 2 variáveis é um DFU, mas não é um DIP. (Para provar isso, observe o ideal gerado por ⟨ X , Y ⟩ . {\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle .} Não é o anel inteiro, pois não contém polinômios de grau 0, mas não pode ser gerado por nenhum elemento único.)
