Anel (matemática)
Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.
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Um anel é uma estrutura algébrica que consiste numa tripla ( A , + , ⋅ ) {\displaystyle (A,+,\cdot )} , o conjunto A {\displaystyle A} com um elemento 0 {\displaystyle 0} e duas operações binárias + {\displaystyle +} e ⋅ {\displaystyle \cdot } que satisfazem as seguintes condições: Dentro desta estrutura, em particular, temos que ( A , + ) {\displaystyle (A,+)} é um grupo abeliano (comutativo). E ( A , ⋅ ) {\displaystyle (A,\cdot )} é semigrupo. Além disso em ( A , + , ⋅ ) {\displaystyle (A,+,\cdot )} a multiplicação é distributiva em relação à adição ( a + b ) ⋅ c = a c + b c {\displaystyle (a+b)\cdot c=ac+bc} c ⋅ ( a + b ) = c a + c b {\displaystyle c\cdot (a+b)=ca+cb} . Aneis que tem propriedades a mais recebem nomes específicos: Um anel em o que grupo ( A , ⋅ ) {\displaystyle (A,\cdot )} tem identidade diferente do zero de ( A , + ) {\displaystyle (A,+)} , diz-se anel de identidade. Um anel em que o semigrupo ( A , ⋅ ) {\displaystyle (A,\cdot )} é comutativo é dito anel comutativo.
Sejam A {\displaystyle A} um anel e a {\displaystyle a} um elemento de A {\displaystyle A} diferente de 0. {\displaystyle 0.} Diz-se que a {\displaystyle a} é um divisor de zero se existir algum b {\displaystyle b} ∈ A {\displaystyle A} \ { 0 } {\displaystyle \{0\}} tal que a . b = 0 {\displaystyle a.b=0} ou que b . a = 0. {\displaystyle b.a=0.}
Sejam A {\displaystyle A} um anel e I {\displaystyle I} um subconjunto não vazio de A . {\displaystyle A.} Diz-se que I {\displaystyle I} é um ideal à esquerda de A {\displaystyle A} se Diz-se que I {\displaystyle I} é um ideal à direita de A {\displaystyle A} se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com Diz-se que I {\displaystyle I} é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita. Caso A {\displaystyle A} seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais. onde a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} ∈ R. Então, se 0 {\displaystyle 0} for a função nula, se + {\displaystyle +} for a adição de funções e se . {\displaystyle .} for a composição, então A {\displaystyle A} é um anel (não comutativo). Se então I {\displaystyle I} é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.
