Anel com identidade

Alguns autores, como Serge Lang, definem anel com existência de elemento neutro para a multiplicação. Nesses casos anéis sem unidade são classificados como pseudoanéis.

Proposição:Se um anel A {\displaystyle {\mathcal {A}}} possui unidade, então ela é única. Prova: A prova segue por absurdo supondo a existência de duas identidades. Seja 1 , 1 ′ ∈ A {\displaystyle 1,1'\in {\mathcal {A}}} identidades distintas, ou seja, ∀ x ∈ A {\displaystyle \forall x\in {\mathcal {A}}} temos 1 ⋅ x = x {\displaystyle 1\cdot x=x} e 1 ′ ⋅ x = x {\displaystyle 1'\cdot x=x} . Segue que 1 ⋅ 1 ′ = 1 ′ {\displaystyle 1\cdot 1'=1'} mas 1 ′ {\displaystyle 1'} também é unidade, então 1 ⋅ 1 ′ = 1 {\displaystyle 1\cdot 1'=1} portanto 1 = 1 ′ {\displaystyle 1=1'}

Dentro de um anel A {\displaystyle {\mathcal {A}}} podemos definir o conjunto U ( A ) = { a ∈ A | ∃ b ∈ A , a ⋅ b = 1 } ⊆ A {\displaystyle U({\mathcal {A}})=\{a\in {\mathcal {A}}|\exists b\in {\mathcal {A}},a\cdot b=1\}\subseteq {\mathcal {A}}} , em palavras, U ( A ) {\displaystyle U({\mathcal {A}})} denota o conjunto de todos os elementos invertíveis de A {\displaystyle {\mathcal {A}}} e o chamamos de Conjunto das Unidades. Portanto a noção de unidade não está associada ao elemento neutro da multiplicação 1 A {\displaystyle 1_{\mathcal {A}}} e sim a existência de inverso multiplicativo. Dessa forma, o termo unidades de um anel não contradiz a proposição acima pois é diferente do termo anel com unidade, o qual se refere à anéis que possuem elemento neutro para a multiplicação.