Unidade (teoria dos anéis)
Em álgebra, uma unidade ou elemento invertível de um anel é um elemento invertível para a multiplicação do anel. Isto é, um elemento u de um anel R é uma unidade se existe v em R tal que onde 1 é a identidade multiplicativa; o elemento v é único para esta propriedade e é chamado de inverso multiplicativo de u. O conjunto das unidades de R forma um grupo R× sob multiplicação, chamado de grupo de unidades ou grupo unitário de R. Outras notações para o grupo de unidades são R∗, U(R) e E(R) (do termo alemão Einheit).
A identidade multiplicativa 1 e seu inverso aditivo −1 são sempre unidades. Mais geralmente, qualquer raiz da unidade em um anel R é uma unidade: se rn = 1, então rn−1 é um inverso multiplicativo de r. Em um anel não nulo, o elemento 0 não é uma unidade, então R× não é fechado sob adição. Um anel não nulo R no qual todo elemento não nulo é uma unidade (isto é, R× = R ∖ {0}) é chamado de anel de divisão (ou corpo não comutativo). Um anel de divisão comutativo é chamado de corpo. Por exemplo, o grupo de unidades do corpo dos números reais R é R ∖ {0}.
Anel dos inteiros
No anel dos inteiros Z, as únicas unidades são 1 e −1. No anel Z/nZ de inteiros módulo n, as unidades são as classes de congruência (mod n) representadas por inteiros coprimos a n. Elas constituem o grupo multiplicativo dos inteiros módulo n.
Anel de inteiros de um corpo de números
No anel Z[√3] obtido pela adjunção do inteiro quadrático √3 a Z, tem-se (2 + √3)(2 − √3) = 1, então 2 + √3 é uma unidade, e assim também são suas potências, de modo que Z[√3] tem infinitas unidades. Mais geralmente, para o anel de inteiros R em um corpo de números F, o teorema das unidades de Dirichlet afirma que R× é isomorfo ao grupo Z n × μ R {\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}} onde μ R {\displaystyle \mu _{R}} é o grupo (finito, cíclico) das raízes da unidade em R e n, o posto do grupo de unidades, é n = r 1 + r 2 − 1 , {\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1,} onde r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} são o número de imersões reais e o número de pares de imersões complexas de F, respectivamente.
Polinômios e séries de potências
Para um anel comutativo R, as unidades do anel de polinômios R[x] são os polinômios p ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n {\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}} tais que a0 é uma unidade em R e os coeficientes restantes a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} são nilpotentes, isto é, satisfazem a i N = 0 {\displaystyle a_{i}^{N}=0} para algum N. Em particular, se R é um domínio (ou mais geralmente reduzido), então as unidades de R[x] são as unidades de R. As unidades do anel de séries de potências R [ [ x ] ] {\displaystyle R[[x]]} são as séries de potências p ( x ) = ∑ i = 0 ∞ a i x i {\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}} tais que a0 é uma unidade em R.
Anéis de matrizes
O grupo de unidades do anel Mn(R) de matrizes n × n sobre um anel R é o grupo GLn(R) de matrizes invertíveis. Para um anel comutativo R, um elemento A de Mn(R) é invertível se e somente se o determinante de A é invertível em R. Nesse caso, A−1 pode ser dado explicitamente em termos da matriz adjunta.
Em geral
Para elementos x e y em um anel R, se 1 − x y {\displaystyle 1-xy} é invertível, então 1 − y x {\displaystyle 1-yx} é invertível com inverso 1 + y ( 1 − x y ) − 1 x {\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x} ; esta fórmula pode ser conjecturada, mas não provada, pelo seguinte cálculo em um anel de séries de potências não comutativas: ( 1 − y x ) − 1 = ∑ n ≥ 0 ( y x ) n = 1 + y ( ∑ n ≥ 0 ( x y ) n ) x = 1 + y ( 1 − x y ) − 1 x . {\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y{\biggl (}\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}{\biggr )}x=1+y(1-xy)^{-1}x.} Veja a identidade de Hua para resultados semelhantes.
Um anel comutativo é um anel local se R ∖ R× é um ideal maximal. Acontece que, se R ∖ R× é um ideal, então ele é necessariamente um ideal maximal e R é local, pois um ideal maximal é disjunto de R×. Se R é um corpo finito, então R× é um grupo cíclico de ordem |R| − 1. Todo homomorfismo de anéis f : R → S induz um homomorfismo de grupos R× → S×, pois f mapeia unidades em unidades. De fato, a formação do grupo de unidades define um functor da categoria dos anéis para a categoria dos grupos. Este functor tem um adjunto à esquerda que é a construção do anel de grupo integral. O esquema de grupos GL 1 {\displaystyle \operatorname {GL} _{1}} é isomorfo ao esquema de grupos multiplicativo G m {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} sobre qualquer base, portanto, para qualquer anel comutativo R, os grupos GL 1 ( R ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)} e G m ( R ) {\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)} são canonicamente isomorfos a U(R). Note que o functor G m {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} (isto é, R ↦ U(R)) é representável no sentido: G m ( R ) ≃ Hom ( Z [ t , t − 1 ] , R ) {\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)} para anéis comutativos R (isso, por exemplo, segue da relação adjunta mencionada acima com a construção do anel de grupo). Explicitamente, isso significa que há uma bijeção natural entre o conjunto dos homomorfismos de anéis Z [ t , t − 1 ] → R {\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R} e o conjunto dos elementos unitários de R (em contraste, Z [ t ] {\displaystyle \mathbb {Z} [t]} representa o grupo aditivo G a {\displaystyle \mathbb {G} _{a}} , o functor de esquecimento da categoria dos anéis comutativos para a categoria dos grupos abelianos).
Suponha que R seja comutativo. Os elementos r e s de R são chamados de associados se existe uma unidade u em R tal que r = us; então escreve-se r ~ s. Em qualquer anel, pares de elementos inversos aditivos[nota 3] x e −x são associados, pois qualquer anel inclui a unidade −1. Por exemplo, 6 e −6 são associados em Z. Em geral, ~ é uma relação de equivalência em R. A associatividade também pode ser descrita em termos da ação de R× em R via multiplicação: Dois elementos de R são associados se estão na mesma R×-órbita. Em um domínio de integridade, o conjunto de associados de um dado elemento não nulo tem a mesma cardinalidade que R×. A relação de equivalência ~ pode ser vista como qualquer uma das relações de semigrupo de Green especializada para o semigrupo multiplicativo de um anel comutativo R.
