Álgebra finitamente gerada
Em matemática, uma álgebra finitamente gerada sobre um anel comutativo R, ou simplesmente uma R-álgebra finitamente gerada, é uma álgebra associativa comutativa A definida pelo homomorfismo de anéis , tal que cada elemento de A pode ser expresso como um polinômio em um número finito de geradores com coeficientes em . Dito de outra forma, existe um homomorfismo de álgebras sobre R sobrejetivo do anel de polinômios para A.
Álgebras comutativas reduzidas finitamente geradas são objetos básicos de consideração na geometria algébrica moderna, onde correspondem a variedades algébricas afins; por esta razão, essas álgebras também são chamadas de álgebras afins (comutativas). Mais precisamente, dado um conjunto algébrico afim V ⊆ A n {\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}} , podemos associar uma K-álgebra finitamente gerada chamada de anel de coordenadas afins de V; além disso, se ϕ : V → W {\displaystyle \phi \colon V\to W} é um mapa regular (ou morfismo) entre os conjuntos algébricos afins V ⊆ A n {\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}} e W ⊆ A m {\displaystyle W\subseteq \mathbb {A} ^{m}} , podemos definir um homomorfismo de K-álgebras então, Γ {\displaystyle \Gamma } é um funtor contravariante da categoria dos conjuntos algébricos afins com mapas regulares para a categoria das K-álgebras reduzidas finitamente geradas: este funtor acaba sendo uma equivalência de categorias
Lembramos que uma álgebra comutativa A sobre R é um homomorfismo de anéis ϕ : R → A {\displaystyle \phi \colon R\to A} ; a estrutura de módulo sobre R de A é definida por Uma R-álgebra A é chamada de finita se for finitamente gerada como um R-módulo, ou seja, se houver um homomorfismo sobrejetivo de R-módulos Novamente, há uma caracterização de álgebras finitas em termos de quocientes: Por definição, uma R-álgebra finita é de tipo finito, mas a recíproca é falsa: o anel de polinômios R [ X ] {\displaystyle R[X]} é de tipo finito, mas não é finito. No entanto, se uma R-álgebra for de tipo finito e inteira, então ela será finita. Mais precisamente, A é um R-módulo finitamente gerado se e somente se A for gerada como uma R-álgebra por um número finito de elementos inteiros sobre R. Álgebras finitas e álgebras de tipo finito estão relacionadas às noções de morfismos finitos e morfismos de tipo finito.
