Variedade afim

Um conjunto algébrico afim é o conjunto de soluções num corpo algebricamente fechado k de um sistema de equações polinomiais com coeficientes em k. Mais precisamente, se f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} são polinómios com coeficientes em k, eles definem um conjunto algébrico afim Uma variedade (algébrica) afim é um conjunto algébrico afim que não é a união de dois subconjuntos algébricos afins próprios. Tal conjunto algébrico afim é frequentemente dito ser irredutível. Se X é um conjunto algébrico afim, e I ( X ) {\displaystyle \mathrm {I} (X)} é o ideal de todos os polinómios que se anulam em X, então o anel quociente A ( X ) = k [ x 1 , … , x n ] / I ( X ) {\displaystyle A(X)=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\mathrm {I} (X)} (também denotado por Γ ( X ) {\displaystyle \Gamma (X)} ou k [ X ] {\displaystyle k[X]} , embora este último possa ser confundido com o anel de polinómios numa indeterminada) é chamado de anel de coordenadas de X. O ideal I ( X ) {\displaystyle \mathrm {I} (X)} é radical, logo o anel de coordenadas é um anel reduzido, e, se X for uma variedade afim (irredutível), então I ( X ) {\displaystyle \mathrm {I} (X)} é primo, logo o anel de coordenadas é um domínio de integridade. Os elementos do anel de coordenadas A ( X ) {\displaystyle A(X)} podem ser pensados como funções polinomiais em X e também são chamados de funções regulares ou funções polinomiais na variedade. Eles formam o anel de funções regulares da variedade, ou, simplesmente, o anel da variedade; em termos mais técnicos (veja § Feixe estrutural), é o espaço das secções globais do feixe estrutural de X.

Para uma variedade afim V ⊆ K n {\displaystyle V\subseteq K^{n}} sobre um corpo algebricamente fechado K, e um subcorpo k de K, um ponto racional sobre k (ou ponto k-racional) de V é um ponto p ∈ V ∩ k n . {\displaystyle p\in V\cap k^{n}.} Ou seja, um ponto de V cujas coordenadas são elementos de k. A coleção de pontos k-racionais de uma variedade afim V é frequentemente denotada por V ( k ) . {\displaystyle V(k).} Muitas vezes, se o corpo base for os números complexos C, os pontos que são R-racionais (onde R são os números reais) são chamados de pontos reais da variedade, e os pontos Q-racionais (Q sendo os números racionais) são frequentemente chamados simplesmente de pontos racionais. Por exemplo, (1, 0) é um ponto Q-racional e um ponto R-racional da variedade V = V ( x 2 + y 2 − 1 ) ⊆ C 2 , {\displaystyle V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},} uma vez que está em V e todas as suas coordenadas são inteiras. O ponto (√2/2, √2/2) é um ponto real de V que não é Q-racional, e ( i , 2 ) {\displaystyle (i,{\sqrt {2}})} é um ponto de V que não é R-racional. Esta variedade é chamada de círculo, porque o conjunto dos seus pontos R-racionais é a circunferência unitária. Ela possui infinitos pontos Q-racionais que são os pontos

Seja V {\displaystyle V} uma variedade afim definida pelos polinómios f 1 , … , f r ∈ k [ x 1 , … , x n ] , {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],} e seja a = ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})} um ponto de V {\displaystyle V} . A Matriz jacobiana J V ( a ) {\displaystyle J_{V}(a)} de V {\displaystyle V} em a {\displaystyle a} é a matriz das derivadas parciais O ponto a {\displaystyle a} é regular se a característica da matriz J V ( a ) {\displaystyle J_{V}(a)} for igual à codimensão de V {\displaystyle V} , e singular caso contrário. Se a {\displaystyle a} for regular, o espaço tangente a V {\displaystyle V} em a {\displaystyle a} é o subespaço afim de k n {\displaystyle k^{n}} definido pelas equações lineares Se o ponto for singular, o subespaço afim definido por estas equações também é chamado de espaço tangente por alguns autores, enquanto outros autores dizem que não existe espaço tangente num ponto singular. Uma definição mais intrínseca que não usa coordenadas é dada pelo Espaço tangente de Zariski.

Os conjuntos algébricos afins de kn formam os conjuntos fechados de uma topologia em kn, chamada topologia de Zariski. Isto decorre do facto de que V ( 0 ) = k n , {\displaystyle V(0)=k^{n},} V ( 1 ) = ∅ , {\displaystyle V(1)=\emptyset ,} V ( S ) ∪ V ( T ) = V ( S T ) , {\displaystyle V(S)\cup V(T)=V(ST),} e V ( S ) ∩ V ( T ) = V ( S , T ) {\displaystyle V(S)\cap V(T)=V(S,T)} (na verdade, uma interseção numerável de conjuntos algébricos afins é um conjunto algébrico afim). A topologia de Zariski também pode ser descrita por meio de conjuntos abertos básicos, onde os conjuntos abertos de Zariski são uniões numeráveis de conjuntos da forma U f = { p ∈ k n : f ( p ) ≠ 0 } {\displaystyle U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}} para f ∈ k [ x 1 , … , x n ] . {\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].} Estes conjuntos abertos básicos são os complementares em kn dos conjuntos fechados V ( f ) = D f = { p ∈ k n : f ( p ) = 0 } , {\displaystyle V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},} o lugar geométrico dos zeros de um único polinómio. Se k for um anel noetheriano (por exemplo, se k for um corpo ou um domínio de ideais principais), então todo o ideal de k é finitamente gerado, de modo que todo o conjunto aberto é uma união finita de conjuntos abertos básicos.

A estrutura geométrica de uma variedade afim está ligada de forma profunda à estrutura algébrica do seu anel de coordenadas. Sejam I e J ideais de k[V], o anel de coordenadas de uma variedade afim V. Seja I(V) o conjunto de todos os polinómios em k [ x 1 , … , x n ] , {\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],} que se anulam em V, e seja I {\displaystyle {\sqrt {I}}} o radical do ideal I, o conjunto de polinómios f para os quais alguma potência de f está em I. A razão pela qual se exige que o corpo base seja algebricamente fechado é que as variedades afins satisfaçam automaticamente o Nullstellensatz de Hilbert: para um ideal J em k [ x 1 , … , x n ] , {\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],} onde k é um corpo algebricamente fechado, I ( V ( J ) ) = J . {\displaystyle \mathrm {I} (\mathrm {V} (J))={\sqrt {J}}.} Ideais radicais (ideais que são o seu próprio radical) de k[V] correspondem a subconjuntos algébricos de V. De facto, para ideais radicais I e J, I ⊆ J {\displaystyle I\subseteq J} se e só se V ( J ) ⊆ V ( I ) . {\displaystyle \mathrm {V} (J)\subseteq \mathrm {V} (I).} Portanto V(I) = V(J) se e só se I = J. Além disso, a função que toma um conjunto algébrico afim W e devolve I(W), o conjunto de todas as funções que também se anulam em todos os pontos de W, é a inversa da função que associa um conjunto algébrico a um ideal radical, pelo Nullstellensatz. Logo, a correspondência entre conjuntos algébricos afins e ideais radicais é uma bijeção. O anel de coordenadas de um conjunto algébrico afim é reduzido (livre de elementos nilpotentes), uma vez que um ideal I num anel R é radical se e só se o anel quociente R/I for reduzido.

Um produto de variedades afins pode ser definido usando o isomorfismo An × Am = An+m, e depois mergulhando o produto neste novo espaço afim. Sejam An e Am os espaços com anéis de coordenadas k[x1,..., xn] e k[y1,..., ym] respetivamente, de modo a que o seu produto An+m tenha o anel de coordenadas k[x1,..., xn, y1,..., ym]. Seja V = V(f1,..., fN) um subconjunto algébrico de An, e W = V(g1,..., gM) um subconjunto algébrico de Am. Então cada fi é um polinómio em k[x1,..., xn], e cada gj está em k[y1,..., ym]. O produto de V e W é definido como o conjunto algébrico V × W = V(f1,..., fN, g1,..., gM) em An+m. O produto será irredutível se cada V, W for irredutível. A topologia de Zariski em An × Am não é a topologia produto das topologias de Zariski nos dois espaços. De facto, a topologia produto é gerada por produtos dos conjuntos abertos básicos Uf = An − V(f ) e Tg = Am − V(g ). Consequentemente, polinómios que estão em k[x1,..., xn, y1,..., ym] mas não podem ser obtidos como um produto de um polinómio em k[x1,..., xn] com um polinómio em k[y1,..., ym] definirão conjuntos algébricos que são fechados na topologia de Zariski em An × Am , mas não na topologia produto.

Um morfismo, ou aplicação regular, de variedades afins é uma função entre variedades afins que é polinomial em cada coordenada: mais precisamente, para variedades afins V ⊆ kn e W ⊆ km, um morfismo de V para W é uma aplicação φ : V → W da forma φ(a1, ..., an) = (f1(a1, ..., an), ..., fm(a1, ..., an)), onde fi ∈ k[X1, ..., Xn] para cada i = 1, ..., m. Estes são os morfismos na categoria das variedades afins. Existe uma correspondência biunívoca entre morfismos de variedades afins sobre um corpo algebricamente fechado k, e os homomorfismos de anéis de coordenadas de variedades afins sobre k na direção oposta. Por causa disto, e juntamente com o facto de haver uma correspondência biunívoca entre as variedades afins sobre k e os seus anéis de coordenadas, a categoria das variedades afins sobre k é dual à categoria dos anéis de coordenadas de variedades afins sobre k. A categoria dos anéis de coordenadas de variedades afins sobre k é precisamente a categoria das álgebras finitamente geradas e livres de elementos nilpotentes sobre k.

Equipada com o feixe estrutural descrito abaixo, uma variedade afim é um espaço localmente anelado. Dada uma variedade afim X {\displaystyle X} com anel de coordenadas A {\displaystyle A} , o feixe de k {\displaystyle k} -álgebras O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} é definido fazendo com que O X ( U ) = Γ ( U , O X ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})} seja o anel das funções regulares em U {\displaystyle U} . Seja D ( f ) = { x ∣ f ( x ) ≠ 0 } {\displaystyle D(f)=\{x\mid f(x)\neq 0\}} para cada f {\displaystyle f} em A {\displaystyle A} . Eles formam uma base para a topologia de X {\displaystyle X} e assim O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} é determinado pelos seus valores nos conjuntos abertos D ( f ) {\displaystyle D(f)} . (Veja também: Feixe de módulos#Feixe associado a um módulo.) O facto chave, que depende do Nullstellensatz de Hilbert de maneira essencial, é o seguinte:

Um teorema de Serre fornece uma caracterização cohomológica de uma variedade afim; ele afirma que uma variedade algébrica é afim se e só se H i ( X , F ) = 0 {\displaystyle H^{i}(X,F)=0} para qualquer i > 0 {\displaystyle i>0} e qualquer feixe quase-coerente F {\displaystyle F} em X {\displaystyle X} . (cf. Teorema B de Cartan.) Isto faz com que o estudo cohomológico de uma variedade afim seja inexistente, num forte contraste com o caso projetivo no qual os grupos de coomologia de fibrados em retas são de interesse central.