Espaço dual
Em matemática, qualquer espaço vetorial sobre um corpo pode ser associado a um espaço dual, denotado , consistindo dos funcionais lineares . Quando é um espaço vetorial topológico, considera-se também o espaço dos funcionais lineares contínuos, chamado espaço dual topológico. Nesse caso, geralmente o espaço dual é chamado de espaço dual algébrico.
Imagem: Paulo JS Ferraz · BY-NC-SA · Openverse
O espaço dual é um espaço vetorial
O espaço dual de um espaço vetorial V {\displaystyle V\,} sobre um corpo K {\displaystyle \mathbb {K} } é costumeiramente denotado V ′ {\displaystyle V'\,} ou V ∗ {\displaystyle V^{*}\,} e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como: Para todo ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } em V ∗ {\displaystyle V^{*}} , λ {\displaystyle \lambda } em K {\displaystyle \mathbb {K} } e x {\displaystyle x} em V {\displaystyle V} .
Caso de dimensão finita
Se V {\displaystyle V\,} é um espaço vetorial de dimensão finita, então V ∗ {\displaystyle V^{*}\,} tem a mesma dimensão de V {\displaystyle V\,} . Seja B = { e 1 , . . . , e n } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}} uma base de V {\displaystyle V} , então a base dual é dada pelo conjunto B ∗ = { f 1 , . . . , f n } {\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}=\{f_{1}\,,...\,,f_{n}\}} onde: Primeiramente, veja que f {\displaystyle f} é linear. Sejam x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V} tais que x = α 1 e 1 + ⋯ + α n e n {\displaystyle x=\alpha _{1}e_{1}+\dots +\alpha _{n}e_{n}} e y = β 1 e 1 + ⋯ + β n e n {\displaystyle y=\beta _{1}e_{1}+\dots +\beta _{n}e_{n}} (ou seja, f i ( x ) = α i {\displaystyle f_{i}(x)=\alpha _{i}} e f i ( y ) = β i {\displaystyle f_{i}(y)=\beta _{i}} ). Logo, x + λ y = ( α 1 + λ β 1 ) e 1 + ⋯ + ( α n + λ β n ) e n {\displaystyle x+\lambda y=(\alpha _{1}+\lambda \beta _{1})e_{1}+\dots +(\alpha _{n}+\lambda \beta _{n})e_{n}} e f i ( x + λ y ) = α i + λ β i = f i ( x ) + λ f i ( y ) {\displaystyle f_{i}(x+\lambda y)=\alpha _{i}+\lambda \beta _{i}=f_{i}(x)+\lambda f_{i}(y)} . Portanto, f i ∈ V ∗ {\displaystyle f_{i}\in V^{*}} para i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,2,\dots ,n} .
Exemplos
Se a dimensão de V {\displaystyle V\,} é finita, então V ∗ {\displaystyle V^{*}\,} tem a mesma dimensão que V {\displaystyle V\,} ; se { e 1 , . . . , e n } {\displaystyle \{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}} é uma base para V, então a base dual associada { e 1 , . . . , e n } {\displaystyle \{e^{1}\,,...\,,e^{n}\}} de V ∗ {\displaystyle V^{*}\,} é dada por: Específicamente, se é interpretado R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} como espaço de colunas de n {\displaystyle n} números reais, seu espaço dual é escrito tipicamente como o espaço de linhas de n {\displaystyle n} números. Tal linha atua em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} como funcional linear pela multiplicação ordinária de matrizes.
Duplo dual algébrico
Dado um espaço vetorial V {\displaystyle V} , sempre podemos considerar seu duplo dual V ″ = d e f ( V ′ ) ′ {\displaystyle V''{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(V')'} , que consiste em todos os funcionais lineares f : V ′ → K {\displaystyle f:V'\to \mathbb {K} } . Existe um homomorfismo canônico entre V {\displaystyle V} e V ″ {\displaystyle V''} , ou seja, existe uma transformação V → V ″ {\displaystyle V\to V''} , definida por J : V → V ″ v ↦ f v : V ′ → K ϕ ↦ ϕ ( v ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}J:V&\to V''&&&&\\v&\mapsto f_{v}:V'&&\to \mathbb {K} &&\\&\qquad \qquad \phi &&\mapsto \phi (v)&&\\\end{alignedat}}} que é linear. Além disso, J {\displaystyle J} é sempre injetora e é um isomorfismo entre os espaços vetoriais V {\displaystyle V} e R a n J {\displaystyle \mathrm {Ran} \,J} . Note, porém, que em geral R a n J ≠ V ″ {\displaystyle \mathrm {Ran} \,J\neq V''} ; de outro modo, pode ser que existam f ∈ V ″ {\displaystyle f\in V''} tais que f ≠ f v {\displaystyle f\neq f_{v}} para todo v ∈ V {\displaystyle v\in V} .
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Quando se tem, além da estrutura de espaço vetorial, uma topologia compatível com as operações de soma e multiplicação por escalar (espaço vetorial topológico), os funcionais lineares mais interessantes passam a ser os contínuos. O conjunto dos funcionais lineares contínuos, chamado de espaço dual topológico (ou simplesmente espaço dual) e denotado V ∗ {\displaystyle V^{*}} , é um subespaço do espaço dual algébrico V ′ {\displaystyle V'} . Dados φ ∈ V ∗ {\displaystyle \varphi \in V^{\ast }} e v ∈ V {\displaystyle v\in V} , algumas vezes usamos a notação ⟨ φ , v ⟩ V ∗ , V {\displaystyle \langle \varphi ,v\rangle _{V^{\ast },V}} ou simplesmente ⟨ φ , v ⟩ {\displaystyle \langle \varphi ,v\rangle } ao invés de φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} . A notação ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ V ∗ , V {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{V^{\ast },V}} é conhecida como par dualidade entre V ∗ {\displaystyle V^{\ast }} e V {\displaystyle V} .
O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço
Seja H {\displaystyle H\,} um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que ϕ {\displaystyle \phi \,} é um funcional linear contínuo se, e somente se, existe um z ∈ H {\displaystyle z\in H\,} tal que
Duplo dual topológico
Dado um espaço vetorial normado X {\displaystyle X} , sempre podemos considerar seu duplo dual X ∗ ∗ = d e f ( X ∗ ) ∗ {\displaystyle X^{**}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(X^{*})^{*}} , que consiste em todos os funcionais lineares contínuos f : X ′ → K {\displaystyle f:X'\to \mathbb {K} } . Existe um homomorfismo canônico entre X {\displaystyle X} e X ∗ ∗ {\displaystyle X^{**}} , ou seja, existe uma transformação X → X ∗ ∗ {\displaystyle X\to X^{**}} , definida por J : X → X ∗ ∗ x ↦ f x : X ∗ → K ϕ ↦ ϕ ( x ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}J:X&\to X^{**}&&&&\\x&\mapsto f_{x}:X^{*}&&\to \mathbb {K} &&\\&\qquad \qquad \phi &&\mapsto \phi (x)&&\\\end{alignedat}}}
