Quarta dimensão
Na relatividade, a quarta dimensão espacial é uma dimensão espacial que é ortogonal às outras três dimensões espaciais ; é um conceito frequentemente descrito considerando suas implicações físicas. As direções conhecidas no espaço tridimensional são chamadas de cima/baixo (altitude), norte/sul (latitude) e, leste/oeste (longitude). Na quarta dimensão são usados direções adicionais que incluem ana/kata, vinn/vout e upsilon/delta.
A quarta dimensão e a ortogonalidade
Um ângulo reto pode ser definido como um quarto de volta. A geometria cartesiana escolhe arbitrariamente direções ortogonais através do espaço que se constituem em ângulos retos entre si. Três dimensões ortogonais do espaço são conhecidas como comprimento, largura e altura. Portanto, a quarta dimensão é a direção no espaço que está em ângulo reto com estas três dimensões observáveis.
Espaços vetoriais
Um espaço vetorial é um conjunto de vetores, que podemos imaginar como flechas presas num determinado lugar do espaço (chamado de origem) e que apontam para outros lugares. Um ponto é um objeto com zero dimensão. Não tem extensão no espaço, nem propriedades. Se pensarmos neste ponto como um vetor geométrico, como uma flecha, ele não teria comprimento. Este vetor é chamado de vetor zero e, por si mesmo, constitui-se no vetor espacial mais simples. Uma reta é um objeto unidimensional. Se puxarmos um vetor não-zero em alguma direção, ele terá um comprimento definido. Este vetor tem a cabeça em algum ponto no espaço e a cauda na origem. Se pensarmos em esticar este vetor duas, três vezes e assim por diante, de modo que ele assuma todos os comprimentos possíveis (mesmo zero, para obter o vetor zero), teremos uma linha única com uma dimensão de comprimento. Todos os vetores que descrevem pontos nesta linha são ditos como sendo paralelos um ao outro. E mesmo que qualquer linha que possamos desenhar tenha alguma espessura mínima (para que possamos vê-la), esta linha idealizada não a possui.
Analogia dimensional
Para fazer o salto de três para quatro dimensões, emprega-se comumente um truque denominado "analogia dimensional". Analogia dimensional é estudar como (n – 1) dimensões se relacionam com "n" dimensões e então deduzir como “n” dimensões se relacionariam com (n + 1) dimensões. Por exemplo, no livro Flatland ("Planolândia - um romance de muitas dimensões"), Edwin Abbott escreve sobre um certo Sr. Quadrado que vive num mundo bidimensional, como a superfície de uma folha de papel. Um ser tridimensional (uma esfera) surge em seu mundo e parece (do ponto de vista do "chatalandês") ter poderes quase divinos: é capaz de tirar objetos de dentro de um cofre sem abri-lo (ou seja, movendo-o através da terceira dimensão), ver através das paredes (bidimensionais) e ficar completamente invisível apenas movendo-se umas poucas polegadas na terceira dimensão. Ao aplicar a analogia dimensional, pode-se deduzir que um ente quadridimensional seria capaz de feitos similares da nossa perspectiva tridimensional. Rudy Rucker demonstra isto em seu romance "Spaceland", na qual o protagonista encontra seres quadridimensionais que demonstram tais poderes.
Os polígonos são traçados no plano e os poliedros no espaço de dimensão 3. Os objetos análogos em dimensão 4 levam o nome geral de politopos ainda que, bem frequentemente, se continue a chamá-los simplesmente de poliedros. Como Platão discutiu poliedros regulares no espaço usual de dimensão 3, Schäfli descreveu poliedros regulares em dimensão 4. Trata-se de uma das mais bonitas contribuições de Schläfli: a descrição precisa de seis poliedros regulares em dimensão 4. Como são em dimensão 4, têm vértices, faces de dimensão 2 e faces de dimensão 3. Eis um quadro que indica os nomes destes poliedros.
