Eliminação de Gauss
A eliminação de Gauss, ou método de escalonamento, é um algoritmo para se resolver sistemas de equações lineares. Este método consiste em aplicar sucessivas operações elementares num sistema linear, para o transformar num sistema de mais fácil resolução, que apresenta exatamente as mesmas soluções que o original.
Definição de matriz escalonada ou na forma de escada por linhas
Uma matriz retangular está na sua forma escalonada ou na forma de escada por linhas quando satisfaz as seguintes condições: Exemplo [ 2 − 3 2 1 0 1 − 4 8 0 0 0 35 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&-3&2&1\\0&1&-4&8\\0&0&0&35\end{array}}\right]} Se uma matriz está na forma escalonada reduzida satisfaz ainda as seguintes características adicionais: Exemplo [ 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}1&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]}
Operações elementares
Existem três operações básicas que podem ser aplicadas a qualquer tipo de sistema linear, sem alterar sua solução: Usando estas operações, uma matriz sempre pode ser transformada numa matriz na forma escalonada (forma de escada por linhas) e, posteriormente, ser posta na forma escalonada reduzida. Esta forma final, por sua vez, é única e independente da sequência de operações de linha usadas, sendo mais fácil de resolver que a versão original da matriz. Cabe, também, ressaltar que estas operações elementares são reversíveis, sendo possível retornar ao sistema inicial aplicando a sequência de operações novamente, mas na ordem inversa.
Deseja-se, a partir da utilização de operações elementares, converter uma matriz na sua forma escalonada reduzida, e assim, resolver mais facilmente o sistema de equações associado àquela matriz. Para este fim, utilizamos o método de Eliminação de Gauss, sendo este composto por duas fases:
Seja Ax = b um sistema linear. O Método de eliminação de Gauss para se encontrar a solução do sistema consiste nas seguintes etapas
Etapa 1
Considere o sistema linear de 3 equações abaixo: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ( L 1 ) a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 ( L 2 ) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 ( L 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;&&a_{13}x_{3}&&\;=\;&&b_{1}&\qquad (L_{1})\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;&&a_{23}x_{3}&&\;=\;&&b_{2}&\qquad (L_{2})\\a_{31}x_{1}&&\;+\;&&a_{32}x_{2}&&\;+\;&&a_{33}x_{3}&&\;=\;&&b_{3}&\qquad (L_{3})\end{alignedat}}} [ A | b ] ( 0 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}}^{(0)}} = [ a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_{3}\end{array}}\right]}
Etapa 2
Deseja-se zerar todos os elementos da primeira coluna abaixo da diagonal principal. Assim, sendo a 11 ≠ 0 , {\displaystyle a_{11}\neq 0,} define-se as constantes k = a 21 / a 11 {\displaystyle k=a_{21}/a_{11}} e w = a 31 / a 11 {\displaystyle w=a_{31}/a_{11}} e faz-se as seguintes operações lineares: L 2 ( 1 ) ← L 2 − k . L 1 {\displaystyle L_{2}^{(1)}\leftarrow L_{2}-k.L_{1}} L 3 ( 1 ) ← L 3 − w . L 1 {\displaystyle L_{3}^{(1)}\leftarrow L_{3}-w.L_{1}} [ A | b ] ( 1 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}}^{(1)}} = [ a 11 ( 1 ) a 12 ( 1 ) a 13 ( 1 ) b 1 ( 1 ) 0 a 22 ( 1 ) a 23 ( 1 ) b 2 ( 1 ) 0 a 32 ( 1 ) a 33 ( 1 ) b 3 ( 1 ) ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}^{(1)}&a_{12}^{(1)}&a_{13}^{(1)}&b_{1}^{(1)}\\0&a_{22}^{(1)}&a_{23}^{(1)}&b_{2}^{(1)}\\0&a_{32}^{(1)}&a_{33}^{(1)}&b_{3}^{(1)}\end{array}}\right]}
Etapa 3
Resolve-se o sistema [ A | b ] ( 2 ) . {\displaystyle {\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}}^{(2)}.} Assim: x 3 = b 3 ( 2 ) / a 33 ( 2 ) {\displaystyle x_{3}=b_{3}^{(2)}/a_{33}^{(2)}} , a 33 ( 2 ) ≠ 0 {\displaystyle ,\ a_{33}^{(2)}\neq 0} x 2 = ( b 2 ( 2 ) − ( a 23 ( 2 ) x 3 ) ) / a 22 ( 2 ) {\displaystyle x_{2}=(b_{2}^{(2)}-(a_{23}^{(2)}x_{3}))/a_{22}^{(2)}} x 1 = ( b 1 ( 2 ) − ( a 12 ( 2 ) x 2 ) − a 13 ( 2 ) x 3 ) / a 11 ( 2 ) {\displaystyle x_{1}=(b_{1}^{(2)}-(a_{12}^{(2)}x_{2})-a_{13}^{(2)}x_{3})/a_{11}^{(2)}} Assim, encontra-se a solução { x 1 , x 2 , x 3 } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\end{Bmatrix}}} do sistema [ A | b ] ( 2 ) , {\displaystyle {\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}}^{(2)},} que é a mesma solução de [ A | b ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}A|b\end{bmatrix}}.}
Resolver o sistema de equações abaixo: 2 x + 1 y + − 3 z = − 1 − 1 x + 3 y + 2 z = 12 3 x + 1 y + − 3 z = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&1y&&\;+\;&&-3z&&\;=\;&&-1\\-1x&&\;+\;&&3y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&12\\3x&&\;+\;&&1y&&\;+\;&&-3z&&\;=\;&&0\end{alignedat}}} [ 2 1 − 3 − 1 − 1 3 2 12 3 1 − 3 0 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-3&-1\\-1&3&2&12\\3&1&-3&0\end{array}}\right]} Fase 1: zerar elementos da primeira coluna abaixo da diagonal principal Como a 11 = 2 ≠ 0 , {\displaystyle a_{11}=2\neq 0,} define-se k = a 21 a 11 = − 1 2 {\displaystyle k={\frac {a_{21}}{a_{11}}}={\frac {-1}{2}}} e w = a 31 a 11 = 3 2 {\displaystyle w={\frac {a_{31}}{a_{11}}}={\frac {3}{2}}} e calcula-se os novos elementos da segunda e da terceira linha: a 22 ( 1 ) = a 22 − k . a 12 = 3 − ( − 1 2 ) .1 = 7 2 {\displaystyle a_{22}^{(1)}=a_{22}-k.a_{12}=3-({\frac {-1}{2}}).1={\frac {7}{2}}} a 23 ( 1 ) = a 23 − k . a 13 = 2 − ( − 1 2 ) . ( − 3 ) = 1 2 {\displaystyle a_{23}^{(1)}=a_{23}-k.a_{13}=2-({\frac {-1}{2}}).(-3)={\frac {1}{2}}}
