Espaços linha e coluna
Em álgebra linear, os espaços linha e coluna referem-se aos espaços vetoriais gerados pelos conjuntos dos vetores linha e coluna de uma matriz. A dimensão do espaço linha de uma matriz é chamada de posto linha, enquanto que a dimensão do espaço coluna é chamada posto coluna. Como o posto linha é igual ao posto coluna é usual usar, simplesmente, o termo posto sem fazer referência a linha ou coluna. Também, usamos a notação para nos referirmos ao posto da matriz .
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Seja A = [ a i , j ] i , j = 1 m , n {\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}} uma matriz real m × n {\displaystyle m\times n} .
Espaço linha
O espaço linha de A {\displaystyle A} é o espaço vetorial gerado pelo conjunto de vetores { a 1 , a 2 , … , a m } {\displaystyle \{\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{m}\}} , onde: A dimensão do espaço linha de A {\displaystyle A} é chamada de posto linha da matriz.
Espaço coluna
O espaço coluna de A {\displaystyle A} é o espaço vetorial R ( A ) {\displaystyle R(A)} gerado pelo conjunto de vetores { a 1 , a 2 , … , a n } {\displaystyle \{\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\}} , onde: A dimensão do espaço coluna de A {\displaystyle A} é chamada de posto coluna da matriz.
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O espaço linha de uma matriz possui as seguintes propriedades: 1. O posto linha de uma matriz é menor ou igual ao número de colunas da mesma. Seja A {\displaystyle A} uma matriz real m × n {\displaystyle m\times n} . Então, os vetores linhas de A {\displaystyle A} formam um subconjunto do espaço euclidiano n {\displaystyle n} -dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo n {\displaystyle n} . 2. Se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} são matrizes equivalentes por linha, então elas têm o mesmo posto linha. Com efeito, se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} são matrizes equivalentes por linha, então as linhas de A {\displaystyle A} são combinações lineares das linhas de B {\displaystyle B} e vice-versa. Portanto, o espaço vetorial gerado pelas linhas de A {\displaystyle A} é igual ao espaço vetorial gerado pelas linhas de B {\displaystyle B} , como queríamos demonstrar.
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O espaço coluna de uma matriz possui as seguintes propriedades: 1. O posto coluna de uma matriz é menor ou igual ao número de linhas da mesma. Seja A {\displaystyle A} uma matriz real m × n {\displaystyle m\times n} . Então, os vetores coluna de A {\displaystyle A} formam um subconjunto do espaço euclidiano m {\displaystyle m} -dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo m {\displaystyle m} . 2. O espaço imagem de uma transformação linear é igual ao espaço coluna da matriz que a represente. Seja T : V → W {\displaystyle T:V\to W} uma transformação linear do espaço euclidiano V {\displaystyle V} de dimensão m {\displaystyle m} no espaço euclidiano W {\displaystyle W} de dimenão n {\displaystyle n} . Seja, também, A {\displaystyle A} uma matriz que representa T {\displaystyle T} , i.e.: Daí, vemos que y {\displaystyle \mathbf {y} } pertence à imagem de T {\displaystyle T} se, e somente se, existe x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} tal que y = A x {\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} } . Ou seja, y {\displaystyle \mathbf {y} } é uma combinação linear dos vetores coluna de A {\displaystyle A} , como queríamos demonstrar.
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Os espaços linha e coluna de uma matriz possuem as seguintes relações: Observamos que a propriedade 2. justifica denotar o posto coluna e o posto linha de uma matriz A {\displaystyle A} por R ( A ) {\displaystyle R(A)} ou posto ( A ) {\displaystyle {\text{posto}}(A)} , sem referência a linha ou coluna. 1. O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta. Com efeito, o espaço linha de uma matriz é o espaço gerado pelo conjunto de vetores que formam as linhas da mesma. Agora, as linhas da transposta de uma matriz são as colunas da matriz original, donde segue o enunciado. 2. O posto coluna de uma matriz é igual ao seu posto linha. Por definição, o posto linha de uma matriz é a dimensão do seu espaço linha. Sejam A {\displaystyle A} uma matriz e U {\displaystyle U} a matriz escalonada reduzida por linha de A {\displaystyle A} . Então, o número de vetores coluna de A {\displaystyle A} que são linearmente independentes é igual ao número de uns principais da matriz U {\displaystyle U} . Mas, este é também o número de vetores linha de U {\displaystyle U} que são linearmente independentes. Como A {\displaystyle A} e U {\displaystyle U} são matriz equivalentes por linha, temos que elas têm o mesmo posto linha. Concluímos, então, que o ponto coluna de A {\displaystyle A} é igual ao seu posto linha.
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Se A {\displaystyle A} é uma matriz m × n {\displaystyle m\times n} , então R ( A ) + N ( A ) = n {\displaystyle R(A)+N(A)=n} . Aqui, R ( A ) {\displaystyle R(A)} denota o posto de A {\displaystyle A} , enquanto N ( A ) {\displaystyle N(A)} denota sua nulidade. A nulidade de A {\displaystyle A} é a dimensão do espaço nulo de A {\displaystyle A} , i.e., a dimensão do espaço gerado pelas soluções de A x = 0 {\displaystyle A\mathbf {x} =0} . Seja U {\displaystyle U} a matriz escalonada reduzida de A {\displaystyle A} . O posto de A {\displaystyle A} é igual ao número de linhas não nulas de U {\displaystyle U} , enquanto que a nulidade A {\displaystyle A} é igual a n {\displaystyle n} menos o número de linhas não nulas de U {\displaystyle U} . Ou seja, R ( A ) + N ( A ) = n {\displaystyle R(A)+N(A)=n} .
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Os seguintes resultados relacionam o conceito de singularidade com o posto de uma matriz quadrada: 1. Uma matriz quadrada A {\displaystyle A} n × n {\displaystyle n\times n} é não singular se, e somente se, R ( A ) = n {\displaystyle R(A)=n} . Com efeito, A {\displaystyle A} é não singular se, e somente se, a nulidade de A {\displaystyle A} for igual a zero. O resultado segue, então da relação fundamental demonstrada acima. 2. O determinante de uma matriz A {\displaystyle A} n × n {\displaystyle n\times n} é não nulo se, e somente se, R ( A ) = n {\displaystyle R(A)=n} . Isto segue do resultados 1. demonstrado acima, uma vez que o determinante de uma matriz A {\displaystyle A} n × n {\displaystyle n\times n} é não nulo se, e somente se, A {\displaystyle A} é não singular. 3. Um sistema linear quadrado A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } de ordem n {\displaystyle n} tem uma única solução se, e somente se, R ( A ) = n {\displaystyle R(A)=n} .
