Fração
Frações são uma forma de representar partes de um todo, expressando uma quantidade como a razão entre dois números inteiros. A palavra 'fração' vem do latim 'fractus', que significa 'quebrado' ou 'dividido'. Elas nos ajudam a lidar com quantidades que não são números inteiros.
Pontos-chave
- Frações representam partes de um todo como uma razão de dois números inteiros.
- O Egito Antigo utilizou frações para demarcar terras após inundações do Rio Nilo.
- Em uma fração, o numerador indica as partes consideradas e o denominador, em quantas partes o todo foi dividido.
- A leitura de frações depende do valor do seu denominador.
- Existem diversos tipos de frações, como próprias, impróprias, aparentes e mistas.
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Por volta de 3000 a.C. no Egito Antigo, o faraó Sesóstris distribuiu terras férteis às margens do Rio Nilo. Anualmente, as cheias do rio cobriam essas áreas, exigindo que os limites das propriedades fossem redefinidos após o recuo das águas. Agrimensores, conhecidos como 'estiradores de corda', usavam cordas com unidades de medida marcadas para demarcar os terrenos. Contudo, nem sempre a unidade de medida cabia um número exato de vezes nos lados dos lotes. Esse desafio levou à criação dos números fracionários, inicialmente entendidos pelos egípcios apenas como frações unitárias (numerador igual a 1).
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Uma fração, geralmente representada como a/b, indica que um inteiro foi dividido em 'b' partes iguais, e estamos considerando 'a' dessas partes. O número 'a' é o numerador, que mostra quantas partes são consideradas. O número 'b' é o denominador, que indica em quantas partes iguais o todo foi dividido. Por exemplo, se uma professora precisa dividir três folhas de papel entre quatro alunos, cada um receberá 3/4 (três quartos) de uma folha. Isso significa que cada folha é dividida em 4 partes, e cada aluno recebe 3 dessas partes. A fração 56/8, por exemplo, representa a divisão de 56 por 8, resultando em 7, pois 7 multiplicado por 8 é igual a 56.
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A leitura de uma fração depende do valor do seu denominador. Existem regras específicas para denominadores como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100 e 1000. Geralmente, lemos o numerador seguido pelo nome do denominador. Exemplos incluem: 3/2 como 'três metades', 2/6 como 'dois sextos', 1/10 como 'um décimo', 1/3 como 'um terço', 4/7 como 'quatro sétimos' e 8/100 como 'oito centésimos'.
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As frações podem ser classificadas de diversas formas. Frações complexas, também conhecidas como 'frações compostas', são aquelas onde o numerador, o denominador ou ambos são expressões fracionárias. Frações unitárias possuem o numerador igual a 1. A soma de frações unitárias distintas é chamada de Fração Egípcia, pois era uma forma prática para os egípcios compararem quantidades. Exemplos de frações unitárias incluem 1/5. A soma 1/3 + 1/15 = 2/5 é um exemplo de Fração Egípcia.
Frações Equivalentes
Frações equivalentes representam a mesma porção de um todo. Elas podem ser obtidas multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador por um mesmo número (diferente de zero). Por exemplo, 1/3 é equivalente a 2/6 (multiplicando por 2) e a 3/9 (multiplicando por 3). Para verificar se duas frações são equivalentes, podemos multiplicar seus termos em cruz: se os produtos forem iguais, as frações são equivalentes. Exemplo: 3/9 = 6/18, pois 3 * 18 = 54 e 9 * 6 = 54.
Frações Irredutíveis e Simplificação
Simplificar uma fração significa reduzi-la aos seus menores termos. Isso é feito dividindo o numerador e o denominador por um divisor comum repetidamente, ou de uma só vez usando o Máximo Divisor Comum (MDC). Uma fração é dita irredutível quando seu numerador e denominador são primos entre si, ou seja, não podem ser simplificados mais. Para simplificar 14/30, dividimos ambos por 2, resultando em 7/15, que é uma fração irredutível.
Frações Próprias
Uma fração própria é aquela em que o numerador é menor que o denominador. Essas frações representam uma quantidade menor que um inteiro, mas maior que zero. Exemplos incluem 1/2, 1/4 e 2/3.
Frações Impróprias
Uma fração imprópria é aquela em que o numerador é maior ou igual ao denominador. Elas representam um valor igual ou maior que um inteiro. Exemplos são 7/3, 2/2 e 5/2.
Frações Aparentes
Frações aparentes são um tipo especial de fração imprópria, onde o numerador é um múltiplo exato do denominador. Elas representam um número inteiro, mas escritas na forma de fração. Exemplos incluem 25/5 (que é igual a 5), 18/3 (igual a 6) e 14/7 (igual a 2).
Frações Mistas
Uma fração mista é composta por uma parte inteira e uma parte fracionária. Por exemplo, 4 2/3 é uma fração mista. Ela pode ser convertida em uma fração imprópria: 4 2/3 é igual a (4*3 + 2)/3 = 14/3. Para converter uma fração imprópria como 9/4 em mista, dividimos 9 por 4. O quociente (2) é a parte inteira, o resto (1) é o novo numerador, e o divisor (4) é o denominador, resultando em 2 1/4.
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Comparar frações significa determinar qual delas representa uma quantidade maior, menor ou se são iguais (equivalentes). Existem duas situações principais: 1. Frações com o mesmo denominador: Neste caso, a fração com o maior numerador representa a maior quantidade. Por exemplo, 2/3 é maior que 1/3 porque 2 é maior que 1. 2. Frações com denominadores diferentes: Para compará-las, é necessário primeiro encontrar um denominador comum, transformando as frações em equivalentes. Isso pode ser feito calculando o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores e, em seguida, ajustando os numeradores para criar frações equivalentes com o mesmo denominador. Por exemplo, para comparar 2/5 e 2/3, encontramos o MMC de 5 e 3, que é 15. Transformamos as frações em 6/15 e 10/15, permitindo a comparação.
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Assim como na comparação, a adição e subtração de frações consideram dois casos: com denominadores iguais ou diferentes. 1. Frações com o mesmo denominador: Somam-se ou subtraem-se os numeradores, mantendo o denominador comum. Exemplos: 2/9 + 5/9 = (2+5)/9 = 7/9; 5/3 - 1/3 = (5-1)/3 = 4/3. Para frações mistas, opera-se separadamente as partes inteiras e fracionárias, ou converte-se tudo para fração imprópria antes de operar. Exemplo: 1 2/3 - 1/3 = 1 (2-1)/3 = 1 1/3.
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Para multiplicar duas frações, como a/b e c/d, multiplica-se os numeradores entre si e os denominadores entre si: (a/b) * (c/d) = (a*c) / (b*d). Por exemplo, 2/3 * 1/3 = (2*1) / (3*3) = 2/9. Quando um número inteiro multiplica uma fração, ele é tratado como uma fração com denominador 1. Assim, um número inteiro 'n' multiplicado por a/b é (n/1) * (a/b) = (n*a) / (1*b) = n*a / b. Exemplo: 3 * (2/5) = (3/1) * (2/5) = 6/5.
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Para dividir uma fração por outra, multiplica-se a fração do numerador pelo inverso da fração do denominador. Exemplo: (3/4) / (5/2) = (3/4) * (2/5) = 6/20. O resultado 6/20 pode ser simplificado para 3/10.
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Para elevar uma fração a uma potência, eleva-se o numerador e o denominador àquela potência. Por exemplo, (1/2)² = 1²/2² = 1/4. O resultado é o mesmo que calcular o valor decimal da fração (0,5) e depois elevá-lo à potência (0,5² = 0,25).
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Para calcular a raiz quadrada de uma fração, calcula-se a raiz quadrada do numerador e a raiz quadrada do denominador separadamente. Por exemplo, √(1/4) = √1 / √4 = 1/2. Isso é equivalente a calcular a raiz quadrada do valor decimal da fração (√0,25 = 0,5).
