Corpo de frações
Seja um anel. Sob que condições podemos construir uma extensão que seja um corpo? Se a resposta for afirmativa, B será chamado de um corpo de frações de A.
Imagem: Marinha do Brasil · BY-SA · Openverse
A construção do corpo de frações a partir de um anel é muito semelhante à construção dos números racionais a partir dos números inteiros. Como ( B , + , ∗ ) {\displaystyle (B,+,*)} é um corpo, temos que a multiplicação é comutativa. Então, em ( A , + , ∗ ) {\displaystyle (A,+,*)} , a multiplicação também deve ser comutativa. Como B não pode ter divisores de zero, segue que A também não pode ter divisores de zero. Para que A seja um subconjunto de B, deve ser possível representar cada elemento de B como uma divisão de elementos de A. Uma condição suficiente para isso é que a multiplicação em A tenha elemento neutro 1. As três condições acima (anel comutativo, sem divisores de zero, e com elemento neutro multiplicativo) caracterizam um domínio de integridade. Como os elementos de B tem a forma a 1 a 2 {\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{2}}}\,} para a 1 ∈ A ∧ a 2 ∈ A ∧ a 2 ≠ 0 {\displaystyle a_{1}\in A\land a_{2}\in A\land a_{2}\neq 0\,} , vamos iniciar a construção de B pelo conjunto de pares ordenados A × A ⋆ = A × ( A − { 0 } ) {\displaystyle A\times A^{\star }=A\times (A-\{0\})\,} .
Sejam B e B' dois corpos de frações do anel A, e sejam iA e i'A os isomorfismos de A em, respectivamente, subanéis de B e B' . Considerando então a relação entre B e B' definida por: Basta mostrar que R é uma função bijetiva e um isomorfismo de corpos, e está provada a unicidade (a menos de isomorfismos) do corpo de frações.
