Extensão algébrica
Em matemática, uma extensão algébrica é uma extensão de campo L/K tal que todo elemento do corpo maior L é algébrico sobre o corpo menor K; isto é, todo elemento de L é raiz de um polinômio diferente de zero com coeficientes em K. Uma extensão de campo que não é algébrica é dita transcendental e deve conter elementos transcendentais, ou seja, elementos que não são algébricos.
Todas as extensões transcendentais são de grau infinito. Isto, por sua vez, implica que todas as extensões finitas são algébricas. A recíproca, entretanto, não é verdadeira: existem infinitas extensões que são algébricas. Por exemplo, o corpo de todos os números algébricos é uma extensão algébrica infinita dos números racionais. Seja E um campo de extensão de K e a ∈ E. O menor subcampo de E que contém K e a é comumente denotado K ( a ) . {\displaystyle K(a).} Se a é algébrico sobre K, então os elementos de K(a) podem ser expressos como polinômios em a com coeficientes em K; isto é, K(a) também é o menor anel contendo K e a. Nesse caso, K ( a ) {\displaystyle K(a)} é uma extensão finita de K (é um espaço vetorial K de dimensão finita) e todos os seus elementos são algébricos sobre K. Essas propriedades não são válidas se a não for algébrico. Por exemplo, Q ( π ) ≠ Q [ π ] {\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )\neq \mathbb {Q} [\pi ]} , e ambos são espaços vetoriais de dimensão infinita sobre Q . {\displaystyle \mathbb {Q} .}
