Progressão geométrica
Uma progressão geométrica é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica. A razão é indicada geralmente pela letra .
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Costuma-se denotar por a n {\displaystyle a_{n}} o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a 1 {\displaystyle a_{1}} e sua razão q. A sucessão dos termos é obtida por recursão: Podemos demonstrar por indução matemática que: a n = a 1 . q n − 1 . {\displaystyle a_{n}=a_{1}.q^{n-1}.} De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por: a n = a m q n − m , n , m ∈ Z {\displaystyle a_{n}=a_{m}\ q^{n-m},~~n,m\in \mathbb {Z} }
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A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por Caso q ≠ 1 , {\displaystyle q\neq 1,} a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:
Demonstração
Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira: S n = a 1 + a 1 q + … + a 1 q n − 1 . {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}\ q+\ldots +a_{1}\ q^{n-1}.} Multiplica-se pela razão q : {\displaystyle q:} q S n = a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1 q n . {\displaystyle q\ S_{n}=a_{1}\ q+a_{1}\ q^{2}+\ldots +a_{1}\ q^{n}.} Subtrai-se a primeira da segunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos: q S n − S n = a 1 q n − a 1 , {\displaystyle q\ S_{n}-S_{n}=a_{1}\ q^{n}-a_{1},} o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a ( q − 1 ) S n = a 1 ( q n − 1 ) . {\displaystyle \left(q-1\right)S_{n}=a_{1}\left(q^{n}-1\right).}
A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de a m {\displaystyle a_{m}} até a n {\displaystyle a_{n}} é calculada pela seguinte fórmula: S ( m , n ) = a m ( q n − m + 1 − 1 ) q − 1 . {\displaystyle S_{(m,n)}={\frac {a_{m}(q^{n-m+1}-1)}{q-1}}.}
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando | q | < 1. {\displaystyle |q|<1.} Sua soma é: S ∞ = ∑ n = 1 ∞ a 1 q n − 1 = a 1 1 − q . {\displaystyle S_{\infty }=\sum _{n=1}^{\infty }a_{1}q^{n-1}={\frac {a_{1}}{1-q}}.} Se q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} e a 1 > 0 {\displaystyle a_{1}>0} então sua soma é mais infinito e se q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} e a 1 < 0 , {\displaystyle a_{1}<0,} sua soma é menos infinito. S ∞ = { a 1 1 − q , | q | < 1 + ∞ , q ≥ 1 , a 1 > 0 − ∞ , q ≥ 1 , a 1 < 0 0 , a 1 = 0. {\displaystyle S_{\infty }=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {a_{1}}{1-q}},&|q|<1\\+\infty ,&q\geq 1,a_{1}>0\\-\infty ,&q\geq 1,a_{1}<0\\0,&a_{1}=0.\end{array}}\right.} Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso q ≤ − 1 , {\displaystyle q\leq -1,} por exemplo. q {\displaystyle q} pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.
O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por P n = a 1 n . q n . ( n − 1 ) 2 , {\displaystyle P_{n}=a_{1}^{n}.q^{\frac {n.(n-1)}{2}},} e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão: P n = ∏ i = 1 n a i = ( a 1 × a n ) n 2 , {\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}=(a_{1}\times a_{n})^{\frac {n}{2}},} sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.
Progressão geométrica constante
Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão q {\displaystyle q} deve ser igual a 1. Exemplos de progressões geométricas constantes :
Progressão geométrica crescente
Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} é superior a 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é superior a 0 ou quando sua razão q {\displaystyle q} está entre 0 e 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: q > 1 {\displaystyle q>1} e a 1 > 0 {\displaystyle a_{1}>0} ou 0 < q < 1 {\displaystyle 0<q<1} e a 1 < 0 {\displaystyle a_{1}<0} . Exemplos de progressões geométricas crescentes:
Progressão geométrica decrescente
Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} é superior a 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é inferior a 0 ou quando sua razão q {\displaystyle q} está entre 0 e 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: q > 1 {\displaystyle q>1} e a 1 < 0 {\displaystyle a_{1}<0} ou 0 < q < 1 {\displaystyle 0<q<1} e a 1 > 0. {\displaystyle a_{1}>0.} Exemplos de progressões geométricas decrescentes:
Progressão geométrica oscilante
Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem: q < 0. {\displaystyle q<0.} Exemplos de progressões geométricas oscilantes:
Abaixo temos uma tabela na qual o termo a n = 1 = 2 {\displaystyle a_{n=1}=2} e o termo a n = 2 = 6 , {\displaystyle a_{n=2}=6,} e assim sucessivamente em progressão geométrica.
É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações: Inicialmente é necessário obter-se o quociente( q {\displaystyle q} ). q = P n P m n − m {\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{n-m}]{\frac {P_{n}}{P_{m}}}}\end{aligned}}} Após obtido o quociente( q {\displaystyle q} ) o enésimo( e {\displaystyle e} ) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo n , {\displaystyle n,} ou seja, ( n − e ) . {\displaystyle (n-e).} P e = P n q ( n − e ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}&={\frac {Pn}{{q}^{(n-e)}}}\end{aligned}}} Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo( m {\displaystyle m} ) igual a 1.250 e o 8º termo( n {\displaystyle n} ) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo( e {\displaystyle e} )? q = 156.250 1.250 8 − 5 q = 125 3 q = 5 {\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{8-5}]{\frac {156.250}{1.250}}}\\q&={\sqrt[{3}]{125}}\\q&=5\end{aligned}}}
