Série hipergeométrica de Lauricella

Essas funções podem ser diretamente estendidas para n variáveis. Escreve-se, por exemplo: onde |x1| + ... + |xn| < 1. Essas séries generalizadas também são, às vezes, referidas como funções de Lauricella. Quando n = 2, as funções de Lauricella correspondem às séries hipergeométricas de Appell de duas variáveis: Quando n = 1, todas as quatro funções se reduzem à função hipergeométrica de Gauss:

Em analogia com a função F1 de Appell, a função FD de Lauricella pode ser escrita como uma integral unidimensional do tipo de Euler para qualquer número n de variáveis: Essa representação pode ser facilmente verificada por meio da expansão de Taylor do integrando, seguida de integração termo a termo. A representação implica que a integral elíptica incompleta Π é um caso especial da função FD de Lauricella com três variáveis:

Caso 1: a > c {\displaystyle a>c} , a − c {\displaystyle a-c} é um inteiro positivo Pode-se relacionar FD à função Carlson R R n {\displaystyle R_{n}} por meio de F D ( a , b ¯ , c , z ¯ ) = R a − c ( b ∗ ¯ , z ∗ ¯ ) ⋅ ∏ i ( z i ∗ ) b i ∗ = Γ ( a − c + 1 ) Γ ( b ∗ ) Γ ( a − c + b ∗ ) ⋅ D a − c ( b ∗ ¯ , z ∗ ¯ ) ⋅ ∏ i ( z i ∗ ) b i ∗ {\displaystyle F_{D}(a,{\overline {b}},c,{\overline {z}})=R_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}={\frac {\Gamma (a-c+1)\Gamma (b^{*})}{\Gamma (a-c+b^{*})}}\cdot D_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}} D n ( b ∗ ¯ , z ∗ ¯ ) = 1 n ∑ k = 1 n ( ∑ i = 1 N b i ∗ ⋅ ( z i ∗ ) k ) ⋅ D n − k {\displaystyle D_{n}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{N}b_{i}^{*}\cdot (z_{i}^{*})^{k}\right)\cdot D_{n-k}} e D 0 = 1 {\displaystyle D_{0}=1}