Equação diferencial
Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve, x, y, derivadas de y e eventualmente também derivadas de x. Por exemplo:
As equações diferenciais dividem-se em dois tipos:
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Equações diferenciais são extremamente importantes para as ciências, pois nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. A lei mais importante de Física Clássica, a segunda lei de Newton: F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} é na verdade uma equação diferencial de segunda ordem: F → ( r → , t ) = m d 2 r → d t 2 {\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}},t)=m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}} Equações diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disto. No entanto, as equações diferenciais são mais difíceis de resolver do que as equações algébricas comuns. À exceção das equações separáveis, a resolução de cada tipo diferente de equação sem que se conheça a técnica é uma obra homérica. Por isso, cada avanço no campo das equações diferenciais em geral é creditado a um matemático diferente (exceto por Leonhard Euler). y 1 ( x ) = e 5 x e y 2 ( x ) = e − 3 x {\displaystyle y_{1}(x)=e^{5x}\qquad \mathrm {e} \qquad y_{2}(x)=e^{-3x}}
Equações de primeira ordem
As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são da forma F ( x , y , y ′ ) = 0 , {\displaystyle F(x,y,y')=0,} mas geralmente por meio de simples manipulação algébrica conseguem-se re-escrever na forma de uma ou mais equações: d y d x = f ( x , y ) {\displaystyle {dy \over dx}=f(x,y)} A chamada forma inversa da equação anterior é d x d y = 1 f ( x , y ) {\displaystyle {dx \over dy}={\frac {1}{f(x,y)}}} Qualquer solução implícita de uma das duas equações é solução da outra, e se a inversa de uma solução explícita y ( x ) {\displaystyle y(x)} da primeira equação existir, será solução ( x ( y ) {\displaystyle x(y)} ) da equação inversa. A equação pode ser também escrita na chamada forma diferencial.
Existência e unicidade da solução
As condições suficientes para a existência de uma solução única de uma equação diferencial de primeira ordem são definidas pelo teorema de Picard: d y d x = f ( x , y ) g ( x 0 ) = y 0 {\displaystyle {dy \over dx}=f(x,y)\qquad g(x_{0})=y_{0}} se a função f {\displaystyle f} e a derivada parcial de f {\displaystyle f} em função de y {\displaystyle y} são contínuas numa vizinhança do ponto ( x 0 , y 0 ) , {\displaystyle (x_{0},y_{0}),} existe uma solução única y = g ( x ) {\displaystyle y=g(x)} em certa vizinhança do ponto ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} que verifica a condição inicial g ( x 0 ) = y 0 . {\displaystyle g(x_{0})=y_{0}.}
Existem diferentes métodos para resolução de equações diferenciais e aqui serão apresentados alguns deles.
Variáveis separáveis
Equações diferenciais com variáveis separáveis são as mais simples de se resolver, utilizamos o seguinte método: Considere a equação diferencial de primeira ordem d y d x = f ( x , y ) . {\displaystyle {dy \over dx}=f(x,y).} Quando f não depende de y, isto é f ( x , y ) = g ( x ) , {\displaystyle f(x,y)=g(x),} a equação diferencial d y d x = g ( x ) {\displaystyle {dy \over dx}=g(x)} pode ser resolvida por integração. Se g(x) é uma função contínua, então integrando ambos os lados teremos y = ∫ g ( x ) d x = G ( x ) + c , {\displaystyle y=\int g(x)dx=G(x)+c,} em que G(x) é a antiderivada (integral indefinida) de g(x). O caso apresentado acima é um caso especial de quando f em d y d x = f ( x , y ) {\displaystyle {dy \over dx}=f(x,y)} é um produto de uma função de x por uma função de y. A definição de uma equação diferencial de primeira ordem que é separável ou de variáveis separáveis é d y d x = g ( x ) h ( y ) , {\displaystyle {dy \over dx}=g(x)h(y),} pois nesse caso podemos manipular a equação com o intuito de deixar as funções que dependem da mesma variável do mesmo lado da equação e a partir daí usar o método da integração de ambos os lados.
Equações lineares
Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada equação linear na variável dependente y {\displaystyle y} se for da forma: a 1 ( x ) d y d x + a 0 ( x ) y = g ( x ) {\displaystyle a_{1}(x){dy \over dx}+a_{0}(x)y=g(x)} Quando g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} , a equação linear é chamada homogênea; do contrário, é não homogênea. Dividimos ambos os lados da equação acima pelo coeficiente dominante a 1 ( x ) {\displaystyle a_{1}(x)} , obtemos uma forma mais conveniente, a forma padrão de uma equação linear, que segue d y d x + P ( x ) y = f ( x ) {\displaystyle {dy \over dx}+P(x)y=f(x)} Procuramos uma solução dessa equação em um intervalo I {\displaystyle I} no qual as funções P {\displaystyle P} e f {\displaystyle f} são contínuas.
Uma equação diferencial real ordinária homogênea linear a coeficientes constantes de ordem N é qualquer equação da forma. ∑ n = 0 N a n y ( n ) = 0 {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}y^{(n)}=0} Sendo os coeficientes constantes reais e y uma função real dependente da variável real x. Agora, o novo método de solução: se supormos y = b exp(p x), obtemos: ∑ n = 0 N a n b p n e x p ( p x ) = 0 {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}bp^{n}exp(px)=0} ∑ n = 0 N a n p n = 0 {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}p^{n}=0} O que nada mais é que um polinômio de grau N em função de p. As raízes desse polinômio são os valores de p que fazem a afirmação acima ser verdadeira, tal que a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear da solução b exp(p x) utilizando todos os valores de b e p adequados, ou seja: y = ∑ n = 0 N b n e p n x {\displaystyle y=\sum _{n=0}^{N}b_{n}e^{p_{n}x}} Frequentemente, algumas dessas raízes são complexas, tal que p = u + vi, com u e v reais. Pois bem,
Equações não lineares
Existem muitas equações diferenciais, especialmente não lineares, que não são suscetíveis à solução analítica de algum modo razoavelmente conveniente. Métodos numéricos são uma forma de tratar estas equações. Uma outra abordagem possível analisa o caráter geométrico e nos leva a uma compreensão qualitativa do comportamento das soluções, ao invés de uma informação quantitativa de forma detalhada. Considerando um sistema linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes, ou seja, um sistema da forma x ′ = A x {\displaystyle x'=Ax} , onde A {\displaystyle A} é uma matriz 2x2 e x {\displaystyle x} é um vetor 2x1, onde supomos que o determinante da matriz de coeficientes não se anula. A análise deste sistema é importante para a determinação dos autovalores da matriz de coeficientes, determinando assim o comportamento de soluções com seus respectivos autovetores, ou seja, os autovalores e autovetores fornecem uma forma de analisar o chamado plano de fase, que mostra o comportamento das soluções, de forma qualitativa (geométrica), em um plano ortogonal, sem necessariamente fornecer uma solução analítica para o problema.
Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares
Um sistema de equações diferenciais ordinárias lineares é um sistema, por exemplo, da forma x ′ = A x + B y {\displaystyle x'=Ax+By} y ′ = C x + D y {\displaystyle y'=Cx+Dy} Sendo A, B, C e D constantes reais dadas, e x e y duas funções incógnitas dependentes de uma variável t. Este é o caso mais simples que pode ser chamado de sistema: o 2x2, com duas equações diferenciais dadas e duas funções a serem determinadas. O sistema pode ser resolvido através da seguinte sequência de passos: 1) Isole a função x na segunda equação, e derive os dois lados com respeito a t. x = y ′ − D y C {\displaystyle x={y'-Dy \over C}} x ′ = y ″ − D y ′ C {\displaystyle x'={y''-Dy' \over C}}
Uma equação diferencial parcial linear homogênea de ordem M que depende de N variáveis independentes é uma equação da forma: ∑ n = 0 N ∑ m = 0 M a m , n d m y d x n m = 0 {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\sum _{m=0}^{M}a_{m,n}{d^{m}y \over dx_{n}^{m}}=0} Sendo a(m,n) coeficientes constantes. O caso particular M = N = 1 e a(0,n) = 0 se reduz a uma expressão do tipo: a 0 d y d x 0 + a 1 d y d x 1 = 0 {\displaystyle a_{0}{dy \over dx_{0}}+a_{1}{dy \over dx_{1}}=0} d y d x 0 = k d y d x 1 {\displaystyle {dy \over dx_{0}}=k{dy \over dx_{1}}} Se k = - a1/a0. Neste ponto, é aplicado o principal e mais simples método para resolução deste tipo de equação diferencial: o Método da Separação de Variáveis, que supõe que: y = f ( x 0 ) g ( x 1 ) {\displaystyle y=f(x_{0})g(x_{1})} d y d x 0 = f ′ g {\displaystyle {dy \over dx_{0}}=f'g} d y d x 1 = f g ′ {\displaystyle {dy \over dx_{1}}=fg'} f ′ g = k f g ′ {\displaystyle f'g=kfg'}
