Teorema da raquete de tênis
O Teorema da Raquete de Tênis, ou Teorema do Eixo Intermediário, é um fenômeno cinético da mecânica clássica que descreve o movimento de um corpo rígido com três momentos de inércia principais distintos. Também é conhecido como o Efeito Dzhanibekov, em homenagem ao cosmonauta soviético Vladimir Dzhanibekov, que notou uma das consequências lógicas do teorema enquanto estava no espaço em 1985. Formalmente, o efeito já era conhecido há pelo menos 150 anos, tendo sido descrito por Louis Poinsot em 1834.
O Teorema da Raquete de Tênis pode ser analisado qualitativamente com a ajuda das equações de Euler. Sob condições livres de torque, elas assumem a seguinte forma: I 1 ω ˙ 1 = − ( I 3 − I 2 ) ω 3 ω 2 (1) I 2 ω ˙ 2 = − ( I 1 − I 3 ) ω 1 ω 3 (2) I 3 ω ˙ 3 = − ( I 2 − I 1 ) ω 2 ω 1 (3) {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=-(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=-(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}} Aqui, I 1 , I 2 , I 3 {\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}} denotam os momentos principais de inércia do objeto, e assumimos I 1 < I 2 < I 3 {\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}} . As velocidades angulares ao redor dos três eixos principais do objeto são ω 1 , ω 2 , ω 3 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}} e suas derivadas temporais são denotadas por ω ˙ 1 , ω ˙ 2 , ω ˙ 3 {\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}
Rotação estável em torno do primeiro e terceiro eixo principal
Considere a situação em que o objeto está girando em torno do eixo com momento de inércia I 1 {\displaystyle I_{1}} . Para determinar a natureza do equilíbrio, assuma pequenas velocidades angulares iniciais ao longo dos outros dois eixos. Como resultado, de acordo com a equação (1), ω ˙ 1 {\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}} é muito pequena. Portanto, a dependência temporal de ω 1 {\displaystyle ~\omega _{1}} pode ser negligenciada. Agora, diferenciando a equação (2) e substituindo ω ˙ 3 {\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}} da equação (3), I 2 ω ¨ 2 = − ( I 1 − I 3 ) ω 1 ω ˙ 3 I 3 I 2 ω ¨ 2 = ( I 1 − I 3 ) ( I 2 − I 1 ) ( ω 1 ) 2 ω 2 i.e. ω ¨ 2 = (quantidade negativa) ⋅ ω 2 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{i.e. }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(quantidade negativa)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}}
Rotação instável em torno do segundo eixo principal
Agora, aplique a mesma análise ao eixo com momento de inércia I 2 . {\displaystyle I_{2}.} Desta vez, ω ˙ 2 {\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}} é muito pequena. Portanto, a dependência temporal de ω 2 {\displaystyle ~\omega _{2}} pode ser negligenciada. Agora, diferenciando a equação (1) e substituindo ω ˙ 3 {\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}} da equação (3), I 1 I 3 ω ¨ 1 = ( I 3 − I 2 ) ( I 2 − I 1 ) ( ω 2 ) 2 ω 1 i.e. ω ¨ 1 = (quantidade positiva) ⋅ ω 1 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})(I_{2}-I_{1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(quantidade positiva)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}}
Análise Matricial
Se o objeto estiver girando principalmente ao longo do seu terceiro eixo, de modo que | ω 3 | ≫ | ω 1 | , | ω 2 | {\displaystyle |\omega _{3}|\gg |\omega _{1}|,|\omega _{2}|} , podemos assumir que ω 3 {\displaystyle \omega _{3}} não varia muito e escrever as equações de movimento como uma equação matricial: d d t [ ω 1 ω 2 ] = [ 0 − ω 3 ( I 3 − I 2 ) / I 1 − ω 3 ( I 1 − I 3 ) / I 2 0 ] [ ω 1 ω 2 ] {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\omega _{3}(I_{3}-I_{2})/I_{1}\\-\omega _{3}(I_{1}-I_{3})/I_{2}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}} que possui traço zero e determinante positivo, implicando que o movimento de ( ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})} é uma rotação estável em torno da origem—um ponto de equilíbrio neutro. Da mesma forma, o ponto ( ω 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle (\omega _{1},0,0)} é um ponto de equilíbrio neutro, mas ( 0 , ω 2 , 0 ) {\displaystyle (0,\omega _{2},0)} é um ponto de sela.
Durante o movimento, tanto a energia quanto o momento angular ao quadrado são conservados, portanto temos duas quantidades conservadas: { 2 E = ∑ i I i ω i 2 L 2 = ∑ i I i 2 ω i 2 {\displaystyle {\begin{cases}2E=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}\\L^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}\end{cases}}} Assim, para qualquer condição inicial ω ( 0 ) {\displaystyle \omega (0)} , a trajetória de ω ( t ) {\displaystyle \omega (t)} deve permanecer na curva de interseção entre dois elipsoides definidos por: { ∑ i I i ω i 2 = ∑ i I i ω i ( 0 ) 2 ∑ i I i 2 ω i 2 = ∑ i I i 2 ω i ( 0 ) 2 {\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}(0)^{2}\\\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}(0)^{2}\end{cases}}} Ao inspecionar as equações de Euler, vemos que ω ( t ) = 0 {\displaystyle \omega (t)=0} implica que dois componentes de ω ( t ) {\displaystyle \omega (t)} são zero—ou seja, o objeto está exatamente girando em torno de um dos eixos principais. Em todas as outras situações, ω ( t ) {\displaystyle \omega (t)} deve permanecer em movimento.
Quando o corpo não é exatamente rígido, mas pode flexionar, dobrar ou conter líquido que se movimenta, ele pode dissipar energia através de seus graus de liberdade internos. Nesse caso, o corpo ainda tem momento angular constante, mas sua energia diminuiria, até atingir o ponto mínimo. Como analisado geometricamente acima, isso ocorre quando a velocidade angular do corpo está exatamente alinhada com seu eixo de momento de inércia máximo. Isso ocorreu com o Explorer 1, o primeiro satélite lançado pelos Estados Unidos em 1958. O corpo alongado da espaçonave foi projetado para girar em torno de seu eixo longo (menor inércia), mas se recusou a fazê-lo, começando em vez disso a precessão devido à dissipação de energia dos elementos estruturais flexíveis. Em geral, corpos celestes grandes ou pequenos convergiriam para uma rotação constante em torno de seu eixo de momento de inércia máximo. Quando um corpo celeste é encontrado em um estado de rotação complexo, isso geralmente ocorre devido a um impacto recente, interação de maré, ou é um fragmento de um progenitor recentemente perturbado.
