Análise numérica
A análise numérica é o estudo de algoritmos de aproximação para a solução de problemas matemáticos. Em geral, os algoritmos numéricos se dividem em diretos, recursivos e iterativos. Os iterativos apresentam uma sucessão de passos visando a convergência para o valor aproximado da solução exata..
O objetivo do campo de análise numérica é projetar e analisar técnicas para encontrar soluções aproximadas, porém precisas, para problemas complexos, cuja variedade é demonstrada a seguir.
Histórico
O campo da análise numérica antecede a invenção do computador em séculos. Interpolação linear é usada há mais de 2000 anos. Grandes matemáticos no passado trabalharam com análise numérica, o que é obviamente percebido pelo nome de importantes algoritmos como: Método de Newton, Polinômio de Lagrange, Eliminação Gaussiana, ou Método de Euler. Para facilitar os cálculos manuais, grandes livros foram produzidos, com fórmulas e tabelas de dados como pontos de interpolação e coeficientes de funções. Utilizando estas tabelas, freqüentemente calculadas até a 16ª casa decimal ou além, qualquer um poderia olhar os valores e inseri-los nas fórmulas e encontrar estimações numéricas aproximadas para algumas funções. Este trabalho culminou em uma publicação do NIST em 1964, de um livro de mais de 1000 páginas editado por Abramowitz e Stegun com um grande número de formulas e funções comumente utilizadas e seus valores em diversos pontos. Os valores das funções não são mais de grande utilidade quando temos um computador à disposição, mas as diversas fórmulas podem ainda ser bastante úteis.
Métodos diretos e iterativos
Para o método iterativo, aplique o método da bissecção para f(x) = 3x3 − 24. Os valores iniciais são a = 0, b = 3, f(a) = −24, f(b) = 57. Concluímos desta tabela que a solução está entre 1.875 e 2.0625. O algoritmo deve retornar qualquer número neste intervalo com um erro menor que 0.2. Em uma corrida de 2 horas, foi medida a velocidade do carro em três instantes e inseridas na tabela a seguir. Uma Discretização seria dizer que a velocidade do carro foi constante de 0:00 até 0:40, depois de 0:40 até 1:20 e finalmente de 1:20 até 2:00. Por exemplo, a distância total percorrida nos primeiros 40 minutos é aproximadamente (2/3h × 140 km/h) = 93.3 km. Isto nos permitiria estimar a distância total percorrida em 93.3 km + 100 km + 120 km = 313.3 km, que é um exemplo de integração numérica, pois, o deslocamento é a integral da velocidade.
Discretização
Além disso, problemas contínuos devem as vezes ser substituídos por problemas discretos cuja solução é conhecidamente próxima da do problema contínuo; este processo é chamado “discretização”. Por exemplo, a solução de uma Equação diferencial é a Função. Esta função deve ser representada por uma quantidade limitada de dados, por exemplo, por seu valor em um número finito de números em seu domínio, apesar de seu domínio ser contínuo.
Um dos problemas mais simples é a avaliação de uma função em um determinado ponto. Mas mesmo a avaliação de um polinómio não é sempre trivial: o esquema de Horner é muitas vezes mais eficiente do que o método óbvio. De forma geral, é importante estimar e controlar o erro de arredondamento que resulta do uso do sistema de ponto flutuante na aritmética.
Resolução de equações não lineares
Resolver uma equação não linear, consiste basicamente em determinar os zeros de f ( x ) = 0 ∈ [ a , b ] {\displaystyle f(x)=0\in [a,b]} . Para que possamos usar algum método numérico temos de localizar um intervalo para um zero. Para termos uma ideia onde o zero se localiza teremos de fazer uma análise gráfica da função. Por exemplo, fazer o gráfico na calculadora ou com programas de computador, como por exemplo o GNU Octave, Mathematica ou MATLAB. Para garantir que a raiz existe e seja única temos de verificar os seguintes teoremas: Um dos métodos numéricos para o cálculo de zeros em um intervalo é o método da bissecção. Este método consiste na divisão do intervalo em dois. Haverá um intervalo em que o zero estará e outro não. Para o localizarmos usamos o teorema 1. Rejeitamos o intervalo que não tem o zero e ficamos com o subintervalo que tem o zero. Repetimos este procedimento o número de vezes necessárias de modo a obtermos um erro inferior ao pretendido.
Resolução de sistemas lineares
Um sistema de equações lineares Sn é um conjunto de n equações com n incógnitas. Os sistemas de equações lineares possuem diversas aplicações na matemática e na física sendo um dos principais temas tratados pelo cálculo numérico. Genericamente um sistema linear pode ser representado como: S n = { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 … … … … … … … … … … … a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n , {\displaystyle S_{n}=\left\{{\begin{array}{l}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots +a_{nn}x_{n}=b_{n},\end{array}}\right.} ou ainda: S n = ∑ j = 1 n a i j x j = b j {\displaystyle Sn=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{j}}
Várias outras aplicações existem da análise numérica, como resolução de problemas de autovalores ou valores singulares, cálculo de integrais ou equações diferenciais. Em geral, operações que envolvem limite são facilmente aplicadas em análise numérica, já que os respectivos algoritmos seguem a própria definição de limite.
