Fatorial
Na matemática, o fatorial de um número natural n, denotado por n!, é o produto de todos os naturais menores ou iguais a n. O fatorial de n também é igual ao produto de n e o fatorial de seu antecessor: Por exemplo, O valor de 0! é 1, conforme a convenção para um produto vazio.
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A função fatorial é normalmente definida por: Por exemplo, 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 {\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120} . Como o fatorial de um número é uma multiplicação de 1 até n {\displaystyle n} , n ! {\displaystyle n!} , pode ser definido pelo produto de n {\displaystyle n} com o fatorial de seu antecessor. Logo, 5 ! = 5 × 4 ! = 120 {\displaystyle 5!=5\times 4!=120} . De forma geral: que pode ser reescrito da seguinte forma: Esta definição implica em particular que 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} , pois A função fatorial também pode ser definida (inclusive para não-inteiros) através da função gama: A sequência dos fatoriais (sequência A000142 na OEIS) para n = 0, 1, 2,... começa com:
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Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial. Veja também binômio de Newton. Os fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expressa a função f(x) como uma série de série de potências em x. A razão principal é que o n derivativo de xn é n!. Os fatoriais também são usados extensamente na teoria da probabilidade. Os fatoriais são também frequentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, em ciência da computação, porque satisfazem as seguintes relações recursivas: (se n ≥ 1):
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O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicação repetida se n não for grande demais. É isto que as calculadoras fazem. O maior fatorial, que a maioria das calculadoras suportam é 69!, porque 70! > 10100. Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling: Esta é uma versão simplificada que pode ser provada usando a matemática básica do ensino secundário; a ferramenta essencial é a indução matemática. Esta é aqui apresentada na forma de um exercício:
O logaritmo de um fatorial pode ser usado para calcular o número de dígitos que a base de um fatorial irá ocupar. ln(n!) pode ser facilmente calculado da seguinte forma: Note que esta função, demonstrada graficamente, é quase linear para valores baixos; mas o fator ln ( n ! ) n {\displaystyle {\ln(n!)} \over n} cresce de maneira arbitrária, embora vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico de seus primeiros 20 mil valores: Uma boa aproximação para ln(n!) é fazer o logaritmo da fórmula de Stirling.
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A função gama similar
A função gama Γ(z) é definida para todos os números complexos z exceto os inteiros não positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Relaciona-se aos fatoriais pelo fato de que satisfaz um relacionamento recursivo similar àquele da função fatorial: Junto com a definição Γ(1) = 1 isto gera a equação Devido a este relacionamento, a função gama é frequentemente tida como uma generalização da função fatorial para o domínio dos números complexos. Isso é justificado pelas seguintes razões:
Multifactoriais
Uma notação relacionada comum é o uso de múltiplos pontos de exclamação para simbolizar um multifactorial, o produto de inteiros em passos de dois (n!!), três (n!!!), ou mais. n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A sequência de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ... Algumas identidades envolvendo factoriais duplos são: Deve-se ser cuidadoso para não interpretar n!! como o factorial de n!, que deveria ser escrito (n!)! e é um número muito maior (para n>2). O factorial duplo é a variante mais comumente usada, mas pode-se definir o factorial triplo do mesmo modo (n!!!) e assim por diante. Em geral, o k-ésimo factorial, notado por n!(k), é definido recursivamente como
Hiperfactoriais
Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) são 1, 4, 108, 27648,... A função hiperfactorial é similar à factorial, mas produz números maiores. A taxa de crescimento desta função, contudo, não é muito maior que um factorial regular.
Superfactoriais
Neil Sloane e Simon Plouffe definiram o superfactorial em 1995 como o produto dos primeiros n fatoriais. Assim, o superfatorial de 4 é A sequência de superfatoriais começa (de n=0) como: Esta ideia pode ser facilmente estendida para superduperfatorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando com n=0), assim e aí em diante, recursivamente para todos os fatoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produto dos primeiros n (m-1)-factoriais, i.e. onde m f ( n , 0 ) = n {\displaystyle \mathrm {mf} (n,0)=n} para n > 0 {\displaystyle n>0} e m f ( 0 , m ) = 1 {\displaystyle \mathrm {mf} (0,m)=1} .
Hiperfatoriais (definição alternativa)
Clifford Pickover, no seu livro Keys to Infinity, de 1995, define o superfactorial de n, escrito comodidade n$ (o $ deveria, na verdade, ser um sinal de fatorial ! com um S sobrepusto) como onde a notação científica (4) denota o operador hyper4, ou usando a notação da seta de Knuth, Esta sequência de superfatoriais começa quando se usa:
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A potência de p que ocorre na fatoração prima de n! é Esta fórmula permite que fatoriais grandes sejam fatorados eficientemente. O Teorema de Wilson diz que (p-1)! + 1 é um múltiplo de p se, e somente se, p for um número primo.
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Um exemplo clássico do cálculo de fatorial na linguagem de programação C/Java
