Binómio de Newton
Em matemática, binómio de Newton (português europeu) ou binômio de Newton (português brasileiro) permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto, deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade, o que Newton estudou foram regras que valem para quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.
O teorema do binômio de Newton se escreve como segue: Os coeficientes ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} são chamados coeficientes binomiais e são definidos como: O coeficiente binomial ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n elementos agrupados k a k.
Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal. O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais ( n k ) , {\displaystyle {\begin{matrix}{n \choose k}\end{matrix}},} onde n {\displaystyle n} representa o número da linha (posição vertical) e k {\displaystyle k} representa o número da coluna (posição horizontal). A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1. O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal: Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Caiame pode ter sido o primeiro a descobrir.
Sejam x, y elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo. Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1: Por distributividade de produto sob a soma: Usando a formula do triângulo de Pascal:
O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y. Por exemplo:
