Função exponencial
Chama-se função exponencial a função tal que em que , . O número é chamado de base da função. A função exponencial pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se , a função é crescente. Caso a função é decrescente.
A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é, Esta definição implica as seguintes propriedades: A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se: A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites: De fato, a função y = ax é a única função contínua y=f(x) que satisfaz: No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural: A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição: A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:
A função exponencial de base a {\displaystyle a} , f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} , tem as seguintes propriedades:
Demonstrações das propriedades
Mostraremos, primeiro, que f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0} para todo x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . Com efeito, notamos que f ( 0 ) = 1 ≠ 0 {\displaystyle f(0)=1\neq 0} . Suponhamos, por contradição, que f ( x ) = a x = 0 {\displaystyle f(x)=a^{x}=0} para algum x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . Mas, daí temos 0 = a x a − x + 1 = a > 0 {\displaystyle 0=a^{x}a^{-x+1}=a>0} , uma contradição. Concluímos que f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0} para todo x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . Como consequência f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} para todo x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , uma vez que f ( 0 ) = a 0 = 1 {\displaystyle f(0)=a^{0}=1} .
A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por ex ou exp(x), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência: Aqui, n ! {\displaystyle n!} corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo. O valor da base da exponencial natural, e {\displaystyle e} , é aproximadamente 2 . 718281828 {\displaystyle 2{.}718281828} . A exponencial natural satisfaz as seguinte propriedades: Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo: Para todo a > 0 e x ∈ R . {\displaystyle x\in \mathbb {R} .}
A derivada da função exponencial de base a {\displaystyle a} , f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} é dada por: De fato, como a x = e ( ln a ) x {\displaystyle a^{x}=e^{(\ln a)x}} temos da regra da cadeia que: De forma análoga, obtermos a derivada segunda: Como ( ln ( a ) ) 2 {\displaystyle (\ln(a))^{2}} é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x, isto é a função exponencial é uma função convexa. A integral indefinida da função exponencial é dada por:
