Função hiperbólica
Em matemática, as funções hiperbólicas são análogas às funções trigonométricas comuns, mas definidas usando a hipérbole em vez do círculo. Assim como os pontos (cos t, sin t) formam um círculo com raio unitário, os pontos (cosh t, sinh t) formam a metade direita da hipérbole unitária. Além disso, similarmente a como as derivadas de sin(t) e cos(t) são cos(t) e –sin(t) respectivamente, as derivadas de sinh(t) e cosh(t) são cosh(t) e sinh(t) respectivamente.
O primeiro cálculo conhecido de um problema de trigonometria hiperbólica é atribuído a Gerardus Mercator ao publicar a projeção cartográfica de Mercator por volta de 1566. Isso exigia a tabulação de soluções para uma equação transcendente envolvendo funções hiperbólicas. O primeiro a sugerir uma semelhança entre o setor do círculo e o da hipérbole foi Isaac Newton em seu Principia Mathematica de 1687. Roger Cotes sugeriu modificar as funções trigonométricas usando a unidade imaginária i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} para obter um esferoide oblato a partir de um prolato. As funções hiperbólicas foram formalmente introduzidas em 1757 por Vincenzo Riccati. Riccati usou Sc. e Cc. (sinus/cosinus circulare) para se referir às funções circulares e Sh. e Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) para se referir às funções hiperbólicas. Já em 1759, Daviet de Foncenex mostrou a intercambialidade das funções trigonométricas e hiperbólicas usando a unidade imaginária e estendeu a fórmula de de Moivre para funções hiperbólicas.
Com o ângulo hiperbólico u, as funções hiperbólicas sinh e cosh podem ser definidas com a função exponencial eu. Na figura A = ( e − u , e u ) , B = ( e u , e − u ) , O A + O B = O C {\displaystyle A=(e^{-u},e^{u}),\ B=(e^{u},\ e^{-u}),\ OA+OB=OC} .
Definições por equações diferenciais
As funções hiperbólicas podem ser definidas como soluções de equações diferenciais: o seno e o cosseno hiperbólicos são a solução (s, c) do sistema c ′ ( x ) = s ( x ) , s ′ ( x ) = c ( x ) , {\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}} com as condições iniciais s ( 0 ) = 0 , c ( 0 ) = 1. {\displaystyle s(0)=0,c(0)=1.} As condições iniciais tornam a solução única; sem elas, qualquer par de funções ( a e x + b e − x , a e x − b e − x ) {\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})} seria uma solução. sinh(x) e cosh(x) são também a solução única da equação f ″(x) = f (x), tal que f (0) = 1, f ′(0) = 0 para o cosseno hiperbólico, e f (0) = 0, f ′(0) = 1 para o seno hiperbólico.
Definições trigonométricas complexas
As funções hiperbólicas também podem ser deduzidas a partir de funções trigonométricas com argumentos complexos: onde i é a unidade imaginária com i2 = −1. As definições acima estão relacionadas às definições exponenciais via fórmula de Euler (veja a seção § Funções hiperbólicas para números complexos abaixo).
Cosseno hiperbólico
Pode-se mostrar que a área sob a curva do cosseno hiperbólico (sobre um intervalo finito) é sempre igual ao comprimento de arco correspondente a esse intervalo: área = ∫ a b cosh x d x = ∫ a b 1 + ( d d x cosh x ) 2 d x = comprimento de arco. {\displaystyle {\text{área}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{comprimento de arco.}}}
Tangente hiperbólica
A tangente hiperbólica é a solução (única) da equação diferencial f ′ = 1 − f 2, com f (0) = 0.
As funções hiperbólicas satisfazem muitas identidades, todas semelhantes em forma às identidades trigonométricas. De fato, a regra de Osborn (em homenagem a George Osborn) afirma que se pode converter qualquer identidade trigonométrica (até, mas não incluindo, sinhs ou sinhs implícitos de quarto grau) para θ {\displaystyle \theta } , 2 θ {\displaystyle 2\theta } , 3 θ {\displaystyle 3\theta } ou θ {\displaystyle \theta } e φ {\displaystyle \varphi } em uma identidade hiperbólica, por: Funções ímpares e pares: sinh ( − x ) = − sinh x cosh ( − x ) = cosh x tanh ( − x ) = − tanh x coth ( − x ) = − coth x sech ( − x ) = sech x csch ( − x ) = − csch x {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\\\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}
Somas e diferenças de argumentos
sinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y tanh ( x + y ) = tanh x + tanh y 1 + tanh x tanh y sinh ( x − y ) = sinh x cosh y − cosh x sinh y cosh ( x − y ) = cosh x cosh y − sinh x sinh y tanh ( x − y ) = tanh x − tanh y 1 − tanh x tanh y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}} particularmente cosh ( 2 x ) = sinh 2 x + cosh 2 x = 2 sinh 2 x + 1 = 2 cosh 2 x − 1 sinh ( 2 x ) = 2 sinh x cosh x tanh ( 2 x ) = 2 tanh x 1 + tanh 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}
Fórmulas de adição e subtração
sinh x + sinh y = 2 sinh ( x + y 2 ) cosh ( x − y 2 ) cosh x + cosh y = 2 cosh ( x + y 2 ) cosh ( x − y 2 ) sinh x − sinh y = 2 cosh ( x + y 2 ) sinh ( x − y 2 ) cosh x − cosh y = 2 sinh ( x + y 2 ) sinh ( x − y 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
Fórmulas de produto
cosh x cosh y = 1 2 ( cosh ( x + y ) + cosh ( x − y ) ) sinh x sinh y = 1 2 ( cosh ( x + y ) − cosh ( x − y ) ) sinh x cosh y = 1 2 ( sinh ( x + y ) + sinh ( x − y ) ) cosh x sinh y = 1 2 ( sinh ( x + y ) − sinh ( x − y ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x\,\cosh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cosh(x+y)+\cosh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\sinh x\,\sinh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cosh(x+y)-\cosh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\sinh x\,\cosh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sinh(x+y)+\sinh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\cosh x\,\sinh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sinh(x+y)-\sinh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\end{aligned}}}
Fórmulas de meio argumento
sinh ( x 2 ) = sinh x 2 ( cosh x + 1 ) = sgn x cosh x − 1 2 cosh ( x 2 ) = cosh x + 1 2 tanh ( x 2 ) = sinh x cosh x + 1 = sgn x cosh x − 1 cosh x + 1 = e x − 1 e x + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}} tanh ( x 2 ) = cosh x − 1 sinh x = coth x − csch x {\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}
Fórmulas de meio argumento da tangente
Quando t = tanh ( x 2 ) {\displaystyle t=\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)} , sinh x = 2 t 1 − t 2 , cosh x = 1 + t 2 1 − t 2 , tanh x = 2 t 1 + t 2 , coth x = 1 + t 2 2 t , sech x = 1 − t 2 1 + t 2 , csch x = 1 − t 2 2 t . {\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}},&&\cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh x={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\coth x={\frac {1+t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\operatorname {sech} x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\operatorname {csch} x={\frac {1-t^{2}}{2t}}.\end{aligned}}}
Fórmulas de quadrado
sinh 2 x = 1 2 ( cosh 2 x − 1 ) cosh 2 x = 1 2 ( cosh 2 x + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}
arsinh ( x ) = ln ( x + x 2 + 1 ) arcosh ( x ) = ln ( x + x 2 − 1 ) x ≥ 1 artanh ( x ) = 1 2 ln ( 1 + x 1 − x ) | x | < 1 arcoth ( x ) = 1 2 ln ( x + 1 x − 1 ) | x | > 1 arsech ( x ) = ln ( 1 x + 1 x 2 − 1 ) = ln ( 1 + 1 − x 2 x ) 0 < x ≤ 1 arcsch ( x ) = ln ( 1 x + 1 x 2 + 1 ) x ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}
d d x sinh x = cosh x d d x cosh x = sinh x d d x tanh x = 1 − tanh 2 x = sech 2 x = 1 cosh 2 x d d x coth x = 1 − coth 2 x = − csch 2 x = − 1 sinh 2 x x ≠ 0 d d x sech x = − tanh x sech x d d x csch x = − coth x csch x x ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}} d d x arsinh x = 1 x 2 + 1 d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 1 < x d d x artanh x = 1 1 − x 2 | x | < 1 d d x arcoth x = 1 1 − x 2 1 < | x | d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 0 < x < 1 d d x arcsch x = − 1 | x | 1 + x 2 x ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}
Cada uma das funções sinh e cosh é igual à sua segunda derivada, isto é: d 2 d x 2 sinh x = sinh x {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x} d 2 d x 2 cosh x = cosh x . {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.} Todas as funções com esta propriedade são combinações lineares de sinh e cosh, em particular as funções exponenciais e x {\displaystyle e^{x}} e e − x {\displaystyle e^{-x}} .
∫ sinh ( a x ) d x = a − 1 cosh ( a x ) + C ∫ cosh ( a x ) d x = a − 1 sinh ( a x ) + C ∫ tanh ( a x ) d x = a − 1 ln ( cosh ( a x ) ) + C ∫ coth ( a x ) d x = a − 1 ln | sinh ( a x ) | + C ∫ sech ( a x ) d x = a − 1 arctan ( sinh ( a x ) ) + C ∫ csch ( a x ) d x = a − 1 ln | tanh ( a x 2 ) | + C = a − 1 ln | coth ( a x ) − csch ( a x ) | + C = − a − 1 arcoth ( cosh ( a x ) ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}
É possível expressar explicitamente a série de Taylor em zero (ou a série de Laurent, se a função não for definida em zero) das funções acima. sinh x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} Esta série é convergente para todo valor complexo de x. Como a função sinh x é ímpar, apenas expoentes ímpares de x ocorrem em sua série de Taylor. cosh x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}} Esta série é convergente para todo valor complexo de x. Como a função cosh x é par, apenas expoentes pares de x ocorrem em sua série de Taylor. A soma das séries de sinh e cosh é a expressão em série infinita da função exponencial.
