Função hipergeométrica
Na matemática, a função hipergeométrica gaussiana ou ordinária 2F1(a, b; c; z) é uma função especial representada pela série hipergeométrica, que inclui muitas outras funções especiais como casos específicos ou casos limites. É uma solução de uma equação diferencial ordinária (EDO) linear de segunda ordem. Toda EDO linear de segunda ordem com três pontos singulares regulares pode ser transformada nesta equação.
O termo "série hipergeométrica" foi usado pela primeira vez por John Wallis em seu livro de 1655 Arithmetica Infinitorum. As séries hipergeométricas foram estudadas por Leonhard Euler, mas o primeiro tratamento sistemático completo foi dado por Carl Friedrich Gauss (1813). Estudos no século XIX incluíram os de Ernst Kummer (1836), e a caracterização fundamental por Bernhard Riemann (1857) da função hipergeométrica por meio da equação diferencial que ela satisfaz. Riemann mostrou que a equação diferencial de segunda ordem para 2F1(z), examinada no plano complexo, poderia ser caracterizada (na Esfera de Riemann) pelos seus três pontos singulares regulares. Os casos onde as soluções são funções algébricas foram encontrados por Hermann Schwarz (Lista de Schwarz).
A função hipergeométrica é definida para |z| < 1 pela série de potências 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n ( c ) n z n n ! = 1 + a b c z 1 ! + a ( a + 1 ) b ( b + 1 ) c ( c + 1 ) z 2 2 ! + ⋯ . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .} Ela é indefinida (ou infinita) se c for igual a um inteiro não positivo. Aqui (q)n é o símbolo de Pochhammer (crescente),[nota 1] que é definido por: ( q ) n = { 1 n = 0 q ( q + 1 ) ⋯ ( q + n − 1 ) n > 0 {\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}} A série termina se a ou b for um inteiro não positivo, caso em que a função se reduz a um polinômio: 2 F 1 ( − m , b ; c ; z ) = ∑ n = 0 m ( − 1 ) n ( m n ) ( b ) n ( c ) n z n . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}
Usando a identidade ( a ) n + 1 = a ( a + 1 ) n {\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}} , mostra-se que d d z 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = a b c 2 F 1 ( a + 1 , b + 1 ; c + 1 ; z ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)} d n d z n 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( a ) n ( b ) n ( c ) n 2 F 1 ( a + n , b + n ; c + n ; z ) {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}
Muitas das funções matemáticas comuns podem ser expressas em termos da função hipergeométrica, ou como casos limite dela. Alguns exemplos típicos são 2 F 1 ( 1 , 1 ; 2 ; − z ) = ln ( 1 + z ) z 2 F 1 ( a , b ; b ; z ) = ( 1 − z ) − a ( b arbitrário ) 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 3 2 ; z 2 ) = arcsin ( z ) z 2 F 1 ( 1 3 , 2 3 ; 3 2 ; − 27 x 2 4 ) = 3 x 3 + 27 x 2 + 4 2 3 − 2 3 x 3 + 27 x 2 + 4 3 x 3 {\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ arbitrário}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\end{aligned}}} Quando a = 1 e b = c, a série se reduz a uma simples série geométrica, ou seja, 2 F 1 ( 1 , b ; b ; z ) = 1 F 0 ( 1 ; ; z ) = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&={_{1}F_{0}}\left(1;;z\right)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}}
A função hipergeométrica é uma solução da equação diferencial hipergeométrica de Euler z ( 1 − z ) d 2 w d z 2 + [ c − ( a + b + 1 ) z ] d w d z − a b w = 0. {\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.} que possui três pontos singulares regulares: 0, 1 e ∞. A generalização desta equação para três pontos singulares regulares arbitrários é dada pela Equação diferencial de Riemann. Qualquer equação diferencial linear de segunda ordem com três pontos singulares regulares pode ser convertida para a equação diferencial hipergeométrica através de uma mudança de variáveis.
Soluções nos pontos singulares
Soluções para a equação diferencial hipergeométrica são construídas a partir da série hipergeométrica 2F1(a, b; c; z). A equação tem duas soluções linearmente independentes. Em cada um dos três pontos singulares 0, 1, ∞, geralmente existem duas soluções especiais da forma xs vezes uma função holomorfa de x, onde s é uma das duas raízes da equação indicial e x é uma variável local que se anula em um ponto singular regular. Isso nos dá 3 × 2 = 6 soluções especiais, conforme abaixo. Ao redor do ponto z = 0, duas soluções independentes são, se c não for um número inteiro não positivo, 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) {\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)} e, com a condição de que c não seja um número inteiro,
As 24 soluções de Kummer
Uma equação fuchsiana de segunda ordem com n pontos singulares possui um grupo de simetrias agindo (projetivamente) sobre suas soluções, isomórfico ao grupo de Coxeter W(Dn) de ordem 2n−1n!. A equação hipergeométrica é o caso n = 3, com grupo de ordem 24 isomórfico ao grupo simétrico de 4 pontos, conforme descrito pela primeira vez por Kummer. O surgimento do grupo simétrico é acidental e não tem análogo para mais de 3 pontos singulares, e por vezes é melhor pensar no grupo como uma extensão do grupo simétrico sobre 3 pontos (agindo como permutações dos 3 pontos singulares) por um grupo de Klein (cujos elementos mudam os sinais das diferenças dos expoentes em um número par de pontos singulares). O grupo de 24 transformações de Kummer é gerado pelas três transformações que levam uma solução F(a, b; c; z) a uma dentre
Forma Q
A equação diferencial hipergeométrica pode ser levada à forma Q d 2 u d z 2 + Q ( z ) u ( z ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0} fazendo a substituição u = wv e eliminando o termo da primeira derivada. Constata-se que Q = z 2 [ 1 − ( a − b ) 2 ] + z [ 2 c ( a + b − 1 ) − 4 a b ] + c ( 2 − c ) 4 z 2 ( 1 − z ) 2 {\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}} d d z log v ( z ) = − c − z ( a + b + 1 ) 2 z ( 1 − z ) = − c 2 z − 1 + a + b − c 2 ( z − 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}} v ( z ) = z − c / 2 ( 1 − z ) ( c − a − b − 1 ) / 2 . {\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}
Aplicações do triângulo de Schwarz
As aplicações do triângulo de Schwarz ou as funções s de Schwarz são as razões entre pares de soluções. s k ( z ) = ϕ k ( 1 ) ( z ) ϕ k ( 0 ) ( z ) {\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}} onde k é um dos pontos 0, 1, ∞. A notação D k ( λ , μ , ν ; z ) = s k ( z ) {\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)} também é utilizada algumas vezes. Note que os coeficientes de conexão tornam-se transformações de Möbius nas aplicações dos triângulos. Observe que cada aplicação de triângulo é regular em z ∈ {0, 1, ∞} respectivamente, com s 0 ( z ) = z λ ( 1 + O ( z ) ) s 1 ( z ) = ( 1 − z ) μ ( 1 + O ( 1 − z ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}} e s ∞ ( z ) = z ν ( 1 + O ( 1 z ) ) . {\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}
Grupo de monodromia
A monodromia de uma equação hipergeométrica descreve como as soluções fundamentais mudam quando continuadas analiticamente em torno de caminhos no plano z que retornam ao mesmo ponto. Ou seja, quando o caminho dá voltas ao redor de uma singularidade de 2F1, o valor das soluções no ponto final irá diferir do ponto de partida. Duas soluções fundamentais da equação hipergeométrica estão relacionadas entre si por uma transformação linear; logo a monodromia é um mapeamento (homomorfismo de grupos): π 1 ( C ∖ { 0 , 1 } , z 0 ) → GL ( 2 , C ) {\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )} onde π1 é o grupo fundamental. Em outras palavras, a monodromia é uma representação linear bidimensional do grupo fundamental. O grupo de monodromia da equação é a imagem deste mapa, i.e., o grupo gerado pelas matrizes de monodromia. A representação da monodromia do grupo fundamental pode ser calculada explicitamente em termos dos expoentes nos pontos singulares. Se (α, α'), (β, β') e (γ, γ') são os expoentes em 0, 1 e ∞, então, tomando z0 próximo de 0, os caminhos fechados ao redor de 0 e 1 possuem as matrizes de monodromia
Tipo de Euler
B ( b , c − b ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ∫ 0 1 x b − 1 ( 1 − x ) c − b − 1 ( 1 − z x ) − a d x ℜ ( c ) > ℜ ( b ) > 0 , {\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b){_{2}F_{1}}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,} desde que z não seja um número real maior ou igual a 1. Isso pode ser demonstrado expandindo (1 − zx)−a usando o teorema binomial e integrando termo a termo para z com valor absoluto menor que 1, e por continuação analítica para os demais locais. Quando z for um número real maior ou igual a 1, a continuação analítica deve ser utilizada, pois (1 − zx) é igual a zero em algum ponto no suporte da integral, e assim o valor da integral pode ser mal-definido. Isso foi introduzido por Euler em 1748 e implica nas transformações hipergeométricas de Euler e Pfaff.
Integral de Barnes
Barnes usou a teoria dos resíduos para avaliar a integral de Barnes 1 2 π i ∫ − i ∞ i ∞ Γ ( a + s ) Γ ( b + s ) Γ ( − s ) Γ ( c + s ) ( − z ) s d s {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds} Γ ( a ) Γ ( b ) Γ ( c ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) , {\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),} onde o contorno é desenhado a fim de separar os polos 0, 1, 2... dos polos −a, −a − 1, ..., −b, −b − 1, ... . Isso é válido desde que z não seja um número real não-negativo.
Transformada de John
A função hipergeométrica de Gauss pode ser escrita como uma Transformada de John (Gelfand, Gindikin & Graev 2003, 2.1.2).
2 F 1 ( a ± 1 , b ; c ; z ) , 2 F 1 ( a , b ± 1 ; c ; z ) , 2 F 1 ( a , b ; c ± 1 ; z ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)} são chamadas de contíguas a 2F1(a, b; c; z). Gauss mostrou que 2F1(a, b; c; z) pode ser escrita como uma combinação linear de quaisquer duas das suas funções contíguas, com coeficientes racionais em termos de a, b, c, e z. Isso fornece ( 6 2 ) = 15 {\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15} relações, dadas ao identificar duas linhas quaisquer do lado direito de z d F d z = z a b c F ( a + , b + , c + ) = a ( F ( a + ) − F ) = b ( F ( b + ) − F ) = ( c − 1 ) ( F ( c − ) − F ) = ( c − a ) F ( a − ) + ( a − c + b z ) F 1 − z = ( c − b ) F ( b − ) + ( b − c + a z ) F 1 − z = z ( c − a ) ( c − b ) F ( c + ) + c ( a + b − c ) F c ( 1 − z ) {\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}
Fração contínua de Gauss
Gauss usou as relações contíguas para dar várias formas de escrever um quociente de duas funções hipergeométricas como uma fração contínua, por exemplo: 2 F 1 ( a + 1 , b ; c + 1 ; z ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = 1 1 + ( a − c ) b c ( c + 1 ) z 1 + ( b − c − 1 ) ( a + 1 ) ( c + 1 ) ( c + 2 ) z 1 + ( a − c − 1 ) ( b + 1 ) ( c + 2 ) ( c + 3 ) z 1 + ( b − c − 2 ) ( a + 2 ) ( c + 3 ) ( c + 4 ) z 1 + ⋱ {\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
As fórmulas de transformação relacionam duas funções hipergeométricas em diferentes valores do argumento z.
Transformações lineares fracionárias
A transformação de Euler é 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; c ; z ) . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).} Ela segue por meio da combinação das duas transformações de Pfaff 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − b 2 F 1 ( b , c − a ; c ; z z − 1 ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F 1 ( a , c − b ; c ; z z − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}} que por sua vez derivam da representação integral de Euler. Para extensões das primeira e segunda transformações de Euler, consulte Rathie & Paris (2007) e Rakha & Rathie (2011). Também pode ser escrita como uma combinação linear 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) 2 F 1 ( a , b ; a + b + 1 − c ; 1 − z ) + Γ ( c ) Γ ( a + b − c ) Γ ( a ) Γ ( b ) ( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; 1 + c − a − b ; 1 − z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}
Transformações quadráticas
Se dois dos números 1 − c, c − 1, a − b, b − a, a + b − c, c − a − b forem iguais, ou se um deles for 1/2, então existe uma transformação quadrática da função hipergeométrica, que a conecta a um valor diferente de z relacionado por uma equação quadrática. Os primeiros exemplos foram dados por Kummer (1836), e uma lista completa foi dada por Goursat (1881). Um exemplo comum é 2 F 1 ( a , b ; 2 b ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 2 F 1 ( 1 2 a , b − 1 2 a ; b + 1 2 ; z 2 4 z − 4 ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}
Transformações de ordem superior
Se 1−c, a−b, a+b−c diferirem por sinais ou dois deles forem 1/3 ou −1/3, então existe uma transformação cúbica da função hipergeométrica, conectando-a a um valor diferente de z relacionado por uma equação cúbica. Os primeiros exemplos foram dados por Goursat (1881). Um exemplo típico é 2 F 1 ( 3 2 a , 1 2 ( 3 a − 1 ) ; a + 1 2 ; − z 2 3 ) = ( 1 + z ) 1 − 3 a 2 F 1 ( a − 1 3 , a ; 2 a ; 2 z ( 3 + z 2 ) ( 1 + z ) − 3 ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)} Existem também algumas transformações de graus 4 e 6. Transformações de outros graus apenas existem se a, b, e c forem determinados números racionais (Vidunas 2005). Por exemplo, 2 F 1 ( 1 4 , 3 8 ; 7 8 ; z ) ( z 4 − 60 z 3 + 134 z 2 − 60 z + 1 ) 1 / 16 = 2 F 1 ( 1 48 , 17 48 ; 7 8 ; − 432 z ( z − 1 ) 2 ( z + 1 ) 8 ( z 4 − 60 z 3 + 134 z 2 − 60 z + 1 ) 3 ) . {\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}
Consulte Slater (1966, Apêndice III) para uma lista de fórmulas de somatório em pontos especiais, a maioria dos quais também aparece em Bailey (1935). Gessel & Stanton ( 1982) fornece avaliações adicionais em outros pontos. Koepf (1995) mostra como a maioria dessas identidades pode ser verificada através de algoritmos computacionais.
Valores especiais em z = 1
O teorema de soma de Gauss, nomeado em homenagem a Carl Friedrich Gauss, é a identidade 2 F 1 ( a , b ; c ; 1 ) = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) , ℜ ( c ) > ℜ ( a + b ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)} que segue a partir da fórmula integral de Euler fazendo z = 1. Inclui a Identidade de Vandermonde como um caso especial. Para o caso especial em que a = − m {\displaystyle a=-m} , 2 F 1 ( − m , b ; c ; 1 ) = ( c − b ) m ( c ) m {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}} A fórmula de Dougall generaliza este caso para a série hipergeométrica bilateral em z = 1.
Teorema de Kummer (z = −1)
Existem muitos casos em que funções hipergeométricas podem ser avaliadas em z = −1 aplicando-se uma transformação quadrática para mudar o valor de z = −1 para z = 1 e então usando o teorema de Gauss para avaliar o resultado. Um exemplo típico é o teorema de Kummer, nomeado devido a Ernst Kummer: 2 F 1 ( a , b ; 1 + a − b ; − 1 ) = Γ ( 1 + a − b ) Γ ( 1 + 1 2 a ) Γ ( 1 + a ) Γ ( 1 + 1 2 a − b ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}} que se deduz a partir das transformações quadráticas de Kummer 2 F 1 ( a , b ; 1 + a − b ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F 1 ( a 2 , 1 + a 2 − b ; 1 + a − b ; − 4 z ( 1 − z ) 2 ) = ( 1 + z ) − a 2 F 1 ( a 2 , a + 1 2 ; 1 + a − b ; 4 z ( 1 + z ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}
Valores em z = 1/2
O segundo teorema do somatório de Gauss é 2 F 1 ( a , b ; 1 2 ( 1 + a + b ) ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 2 ( 1 + a + b ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + b ) ) . {\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.} 2 F 1 ( a , 1 − a ; c ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 c ) Γ ( 1 2 ( 1 + c ) ) Γ ( 1 2 ( c + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + c − a ) ) . {\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}
Outros pontos
Existem muitas outras fórmulas que dão a função hipergeométrica como um número algébrico para valores racionais especiais dos parâmetros, algumas das quais estão listadas em Gessel & Stanton ( 1982) e Koepf (1995). Alguns exemplos comuns são fornecidos por 2 F 1 ( a , − a ; 1 2 ; x 2 4 ( x − 1 ) ) = ( 1 − x ) a + ( 1 − x ) − a 2 , {\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},} T a ( cos x ) = 2 F 1 ( a , − a ; 1 2 ; 1 2 ( 1 − cos x ) ) = cos ( a x ) {\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)} sempre que −π < x < π e T for o polinômio de Chebyshev (generalizado).
