Paralelismo
Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos estão na mesma direção, sem nunca se cruzarem.
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Sejam duas retas r {\displaystyle r} e s {\displaystyle s} pertencentes a um plano A {\displaystyle A} . Diz-se que r {\displaystyle r} é paralela a s {\displaystyle s} ( r {\displaystyle r} // s {\displaystyle s} ) se, e somente se, r {\displaystyle r} e s {\displaystyle s} são coincidentes ( r {\displaystyle r} = s {\displaystyle s} ) ou se a intersecção de r {\displaystyle r} e s {\displaystyle s} é um conjunto vazio, ou seja, se elas não possuem pontos comuns.
Teorema das retas paralelas
" Se duas retas coplanares e distintas r {\displaystyle r} e s {\displaystyle s} , e uma transversal t {\displaystyle t} , determinam um par de ângulos alternos (ou ângulos correspondentes) congruentes, então r {\displaystyle r} é paralela a s {\displaystyle s} ." [demonstração 1] O recíproco do teorema das retas paralelas, pode ser enunciado como segue: Sejam r {\displaystyle r} e s {\displaystyle s} retas paralelas e distintas. Se t {\displaystyle t} intercepta ambas, então vale que os ângulos alternos (ou correspondentes) formados pela intercecção são congruentes. Caso as retas estejam no espaço, então para que sejam paralelas, elas devem determinar um único plano e não possuírem ponto comum. Assim, duas retas serão paralelas se elas possuírem mesma direção.
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Também conhecido como postulado de Euclides ou postulado das paralelas define que: "Por um ponto passa uma única reta paralela a uma outra reta dada." Agora, caso r {\displaystyle r} e s {\displaystyle s} forem retas paralelas, bem como as retas s {\displaystyle s} e t {\displaystyle t} forem paralelas, vale que r {\displaystyle r} e t {\displaystyle t} serão paralelas.
Imagem: Víctor Bautista · BY-NC-ND · Openverse
No espaço, uma reta e um plano são paralelos se não se intersectam, ou seja, se não possuem pontos em comum. Uma condição suficiente para a existência de retas e planos paralelos é a de que, definidos uma reta r {\displaystyle r} e um plano π {\displaystyle \pi } , com r {\displaystyle r} não contida em π {\displaystyle \pi } , se existir uma outra reta s {\displaystyle s} contida no plano π {\displaystyle \pi } , de modo que r {\displaystyle r} e s {\displaystyle s} sejam paralelas, então a reta r {\displaystyle r} será paralela ao plano π {\displaystyle \pi } . [demonstração 2] Porém, caso a reta r {\displaystyle r} e o plano π {\displaystyle \pi } forem paralelos, então necessariamente a reta r {\displaystyle r} será paralela a uma reta do plano π . {\displaystyle \pi .} [demonstração 3]
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No espaço, há duas possibilidades para que dois planos sejam paralelos: Desse modo, para determinar dois planos distintos e paralelos, é suficiente que a partir de duas retas concorrentes de um dos planos, definamos o outro plano, paralelo à ambas as retas concorrentes do plano inicial, ou seja, para que dois planos distintos α {\displaystyle \alpha } e π {\displaystyle \pi } sejam paralelos, deve-se ter ou α {\displaystyle \alpha } ou π {\displaystyle \pi } com duas retas concorrentes que sejam paralelas ao outro plano. Sendo assim, se dois planos α {\displaystyle \alpha } e π {\displaystyle \pi } são paralelos e distintos, todas as retas do plano α {\displaystyle \alpha } são paralelas ao plano π {\displaystyle \pi } , assim como todas as retas do plano π {\displaystyle \pi } são paralelas ao plano α {\displaystyle \alpha } . Ainda, cada uma das retas de π {\displaystyle \pi } é paralela a pelo menos uma reta de α {\displaystyle \alpha } e vice-versa.
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Representa-se uma reta na geometria analítica por meio de uma equação de 1º grau que possui duas incógnitas. Para determiná-la são necessários: Para que três pontos ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})} e ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3})} estejam alinhados (e portanto, pertençam à mesma reta) é necessário que o determinante | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}} seja igual a zero. Logo, supondo que A ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle A(x_{1},y_{1})} e B ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle B(x_{2},y_{2})} sejam pontos distintos pertencentes à uma reta t {\displaystyle t} , para determinar sua equação, basta resolver tal determinante com os pontos A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} e um ponto genérico P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} pertencente à t {\displaystyle t} . Os valores para P {\displaystyle P} são fixados apenas para verificar se o ponto está alinhado aos outros dois, ou seja, para concluir se o ponto pertence à reta determinada pelos outros dois pontos.
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Retas paralelas
Seja v → {\displaystyle {\vec {v}}} um vetor que passa pela origem O ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle O(0,0,0)} com extremidade em F ( a , b , c ) {\displaystyle F(a,b,c)} . Então v → = O F → {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {OF}}} , ou seja, v → = ( a , b , c ) {\displaystyle {\vec {v}}=(a,b,c)} . A equação da reta com mesma direção de v → {\displaystyle {\vec {v}}} , que passa pelo ponto F ( a , b , c ) {\displaystyle F(a,b,c)} e pela origem pode ser representada por: ⇒ ( x , y , z ) = t ( a , b , c ) {\displaystyle \Rightarrow (x,y,z)=t(a,b,c)} em que t {\displaystyle t} é um valor real, variando de − ∞ {\displaystyle -\infty } a + ∞ {\displaystyle +\infty } e Q = ( x , y , x ) {\displaystyle Q=(x,y,x)} .
Planos paralelos
A equação de um plano π {\displaystyle \pi } pode ser obtida a partir de uma reta que seja ortogonal a todos os vetores do plano e de um ponto P {\displaystyle P} pertencente ao plano. Seja u → = ( a , b , c ) {\displaystyle {\vec {u}}=(a,b,c)} um vetor não nulo, ortogonal a todos os vetores de π {\displaystyle \pi } e sejam P ( x , y , z ) {\displaystyle P(x,y,z)} e P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})} pontos pertencentes a π {\displaystyle \pi } . O vetor u → {\displaystyle {\vec {u}}} é chamado de vetor normal ao plano π {\displaystyle \pi } . Os vetores de P 1 P → {\displaystyle {\vec {P_{1}P}}} e u → {\displaystyle {\vec {u}}} são ortogonais, ou seja, o resultado de seu produto escalar é 0 (por isso o vetor u → {\displaystyle {\vec {u}}} não deve ser o vetor nulo, já que o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor):
Reta e plano paralelos
Para que uma reta t {\displaystyle t} seja paralela a um plano α {\displaystyle \alpha } , basta que t {\displaystyle t} seja ortogonal ao vetor normal do plano. Logo, para a reta t : ( x , y , z ) = α ( a 1 , b 1 , c 1 ) + ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle t:(x,y,z)=\alpha (a_{1},b_{1},c_{1})+(x_{0},y_{0},z_{0})} β : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d = 0 {\displaystyle \beta :a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d=0} segue que se os produto escalar dos vetores ( a 1 , b 1 , c 1 ) {\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})} e ( a 2 , b 2 , c 2 ) {\displaystyle (a_{2},b_{2},c_{2})} , respectivamente o vetor diretor da reta t {\displaystyle t} e o vetor normal do plano β {\displaystyle \beta } , resultar em 0, então t {\displaystyle t} e β {\displaystyle \beta } serão paralelos.
