Geometria
A geometria é um ramo da matemática preocupado com questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras e com as propriedades dos espaços. Um matemático que trabalha no campo da geometria é denominado de geômetra.
No século XX, o matemático Alexander Grothendieck usou teoria das categorias e topologia para generalizar a geometria algébrica, o que lhe permitiu aplicar ferramentas de geometria e topologia à teoria dos números. Essa união é conhecida pelo nome de geometria aritmética. Na década de 1960, Benoît Mandelbrot começou a escrever sobre auto-similaridade em artigos tais como "Quão Longa é a Costa da Grã-Bretanha? Auto-Similaridade Estatística e Dimensão Fracionária", e em 1975, ele cunhou o termo fractal, e contribuiu para estimular o campo agora conhecido por geometria fractal.
Egito Antigo
A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade econômica de contabilizar diversos tipos de objetos. De forma semelhante, a origem da geometria (do grego geo =terra + metria= medida, ou seja, "medir terra") está intimamente ligada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deram os primeiros passos para o desenvolvimento da disciplina. Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos campos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais fértil terra lavrável do mundo antigo. A má notícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra, gerando conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada.
Os três problemas clássicos da geometria
Ao longo da história, três problemas se tornaram clássicos: a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo. Esses problemas se tornaram populares, pois, por muito tempo, acreditava-se que seria possível resolvê-los apenas com régua e compasso, como determina a tradição euclideana. Alguns matemáticos propuseram soluções para tais problemas utilizando outros recursos. De fato, qualquer um dos problemas clássicos da Geometria têm solução trivial por meio da álgebra ou ainda por meio de geometria a partir de curvas mecânicas, como a espiral de Arquimedes, ou outros instrumentos. Somente a partir do século XIX tornou-se aceito pela comunidade matemática a impossibilidade de resolver tais problemas apenas com régua e compasso.
Axiomatização da geometria
Os gregos antigos desenvolveram uma estrutura de argumentação axiomática para a geometria que ficariam bastante populares na matemática europeia moderna. Essa estrutura que parte de algumas definições, axiomas e postulados e, que a partir desses elementos devidamente pré-estabelecidos, poderiam se deduzir os teoremas da geometria. Por volta do ano 300 a.C., Euclides, um matemático grego que vivia em Alexandria, escreveu um livro em 13 volumes intitulado Os Elementos, que expôs uma matemática de forma sistemática e estruturada, que reflete parte do conhecimento geométrico de diversos matemáticos gregos. Os Elementos, além de geometria, também trata de aritmética.
Geometria analítica
No século XVII, a criação da geometria analítica pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat conectou a álgebra à geometria de forma bastante inovadora. Até então a geometria possuía um papel de justificar os procedimentos algébricos. A álgebra não era vista como uma disciplina, mas como uma extensão da geometria. No entanto, a partir do século XVII, essa hierarquia implícita da superioridade da geometria sobre a álgebra é rompida – ainda que não totalmente até ao século XIX. A álgebra passa a ser utilizada para obter novos resultados geométricos e generalizar outros resultados já conhecidos. As práticas analíticas se tornaram importantes para o desenvolvimento do cálculo infinitesimal.
Geometrias não euclidianas
Houve muita controvérsia em torno das geometrias não euclidianas. Por vezes, os teoremas em geometria não euclidiana eram tão exóticos que, apesar de não encontrarem inconsistências lógicas, matemáticos a tomavam como absurda.
Programa de Erlangen
Em 1871, enquanto em Gotinga (Alemanha), Felix Klein fez descobertas importantes em geometria. Klein fez uso da teoria dos invariantes para unir a geometria à teoria dos grupos.[carece de fontes?] Ele publicou dois artigos sobre a chamada geometria não euclidiana, mostrando que as geometrias euclidiana e não euclidianas podiam ser consideradas casos especiais de uma superfície projetiva com uma seção cônica específica adjunta. Isso teve o corolário notável de que a geometria não euclidiana era consistente se, e somente se, a geometria euclidiana o fosse, colocando as geometrias euclidiana e não euclidianas em pé de igualdade (uma vez que se fosse encontrada uma inconsistência em qualquer uma delas, isto acarretaria que a outra também é inconsistente), e terminando com toda a controvérsia que girava em torno das geometrias não euclidianas.
A geometria divide-se em: sintética, convexa, computacional e, discreta
Geometria clássica
De acordo com Henri Poincaré, um espaço geométrico clássico caracteriza-se por possuir as propriedades de ser: contínuo; infinito; tri-dimensional; homogêneo (isto é, com as mesmas propriedades em toda parte); isotrópico (isto é, sem direção privilegiada).
Topologia e geometria
O campo da topologia, em que houve enorme desenvolvimento no século XX, é em sentido técnico um tipo de geometria transformacional, em que as transformações que preservam as propriedades das figuras são os homeomorfismos (por exemplo, isto difere da geometria métrica, em que as transformações que não alteram as propriedades das figuras são as isometrias). Isto tem sido frequentemente expresso sob a forma do dito "a topologia é a geometria da folha de borracha".
Geometria diferencial
A geometria diferencial é a disciplina matemática que faz uso de técnicas de cálculo diferencial e cálculo integral, bem como de álgebra linear e álgebra multilinear, para estudar problemas de geometria. Ela é de vital importância no estudo de física teórica.
Geometria algébrica
A geometria algébrica é o ramo da matemática que iniciou como o estudo de sistemas de equações polinomiais em dimensões maiores que 3 e que evoluiu da geometria analítica para uma união de álgebra abstrata, topologia e análise complexa. A demonstração de Andrew Wiles do último teorema de Fermat, um problema de teoria dos números, usou muitas ideias de geometria algébrica descobertas e desenvolvidas a partir do século XX.
Geometria euclidiana
A geometria euclidiana é a geometria em seu sentido clássico. O currículo educacional obrigatório da maioria das nações inclui o estudo de pontos, linhas, planos, ângulos, triângulos, congruência, semelhança, figuras sólidas, círculos e geometria analítica. A geometria euclidiana também possui aplicações em ciência da computação, cristalografia e vários ramos da matemática moderna.
A geometria surgiu da necessidade de resolver problemas práticos de agricultura, astronomia, arquitetura e engenharia, e de fato, ainda hoje conhecimentos de geometria são aplicados nos mais variados campos do conhecimento humano, tais como: física, química, geologia, astronomia, engenharia, biologia, navegação, cartografia e fotografia. No entanto, cabe ressaltar que a geometria é considerada parte da matemática pura, por, embora tenha começado como uma ciência prática e encontre aplicações em muitos ramos fora da matemática, ela é comumente desenvolvida abstraída da realidade, como uma teoria matemática pela qual matemáticos estudam motivados por seu apelo intrínseco.
Física
Das observações astronômicas de Kepler (mais tarde explicadas pelos trabalhos de Newton) foi descoberto que os planetas seguem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos. As seções cônicas, estudadas pelos gregos antigos encontraram aplicações em mecânica celeste 1800 anos depois de serem por eles descobertas. A linguagem da trigonometria euclidiana é amplamente utilizada no estudo da óptica, em que o conceito de raios de luz pode ser usado para tratar de diversos fenômenos ópticos, como por exemplo, a difração da luz. Apesar de estudiosos tais como Carl Gauss e Nikolai Lobachevsky terem considerado a possibilidade de o espaço físico não ser euclidiano, as geometrias não euclidianas eram quase que apenas consideradas curiosidades intelectuais abstratas antes de Albert Einstein encontrar usos para elas em teorias de física. Na teoria geral da relatividade, interpreta-se que o espaço torna-se "curvo" na presença de campos gravitacionais.
Química
A geometria de uma molécula (como os átomos que formam uma molécula estão dispostos espacialmente) determina muitas das propriedades químicas e físicas de uma substância. Apesar disso, poucos trabalhos que investigam as relações entre a geometria e química foram realizados por matemáticos: "É perfeitamente compreensível o fato de os cristalógrafos estarem interessados pelos grupos de simetria de cristais e por outras estruturas tridimensionais, mas é difícil explicar por que este tema tem sido amplamente ignorado pelos matemáticos. Talvez seja uma questão de atitude; os matemáticos há muito tempo consideram como humilhante trabalhar em problemas relacionados com a 'geometria elementar' em duas ou três dimensões, apesar do fato de que é precisamente esse tipo de matemática que é de valor prático." — Branko Grünbaum e G. C. Shephard, em Handbook of applicable mathematics - Volume 5, Parte 2, Página 728.
Cartografia
Projeções cartográficas são transformações que mapeiam pontos de uma superfície não plana (geralmente, por simplicidade, assume-se a forma de uma esfera ou elipsoide como o formato do planeta) para os pontos de um plano. É impossível representar a superfície da Terra em um plano sem que ocorram distorções (uma consequência do Theorema Egregium de Gauss).
Engenharia
A geometria fractal é aplicada no projetos de antenas fractais usadas em comunicação sem fio multi-banda compacta — a propriedade de preenchimento do espaço dos fractais é explorada de modo a conseguir-se miniaturizações cada vez mais expressivas. Conhecimentos a respeito de fractais encontram aplicações também no entendimento da porosidade do solo, atrito entre objetos, e em engenharia aeronáutica.
Biologia
Já na Antiguidade estudiosos perceberam padrões geométricos na natureza. Papo de Alexandria viveu no século III e escreveu: "As abelhas foram dotadas de uma certa premeditação geométrica .... Pois, havendo apenas três figuras que por elas mesmas pode-se preencher o espaço em volta de um ponto, viz. o triângulo, o quadrado e o hexágono, as abelhas sabiamente escolhem para a sua estrutura aquela que contém o maior número de ângulos, suspeitando de fato que ela pode conter mais mel do que qualquer uma das outras duas".
Navegação
A obra do matemático português Pedro Nunes, que viveu no século XVI, voltou-se para o desenvolvimento da teoria náutica e resolução dos problemas que se apresentavam no período das Grandes Navegações Portuguesas, tendo resolvido problemas tais como o de determinar em que longitude se está quando em alto mar, e lançado luz sobre o tema das linhas de rumo (curvas loxodrómicas), extremamente úteis para não se perder a rota quando se navega em alto mar (e, portanto, sem referências costeiras).
A matemática é tradicionalmente dividida em três grandes áreas, sendo a geometria uma delas, e a álgebra e a análise as outras duas — que por sua vez se dividem em diversas outras sub-áreas (que frequentemente intersectam-se). Essas três grandes áreas são também conhecidas como delineadoras de maneiras de pensar em matemática, e os matemáticos são por vezes classificados em algebristas, geômetras e analistas. Exemplos de matemáticos considerados geômetras são: Arquimedes, Isaac Newton, Bernhard Riemann, Henri Poincaré, Felix Klein, Michael Atiyah, Vladimir Arnold, e Mikhail Gromov. Frequentemente a solução para um mesmo problema pode ser encontrada "geometricamente", "algebricamente" ou "analiticamente", e a decisão sobre qual é a melhor, a mais simples, ou a mais adequada solução, frequentemente depende de preferências pessoais bastante subjetivas. Como exemplo, o proeminente matemático russo Vladimir Rokhlin certa vez afirmou bastante emocionado que "a profundidade e a beleza da geometria não podem ser comparadas com as de qualquer outra área da matemática".
Geometria e análise
A análise é uma ferramenta imprescindível para o estudo aprofundado da geometria. Como exemplo, todos os conceitos básicos em geometria diferencial são definidos por conceitos que pertencem à análise. E o estudo de geometria leva, de maneira natural, a muitos conceitos da análise, tais como os diferentes tipos de derivadas, ao conceito de variedades, e vários outros. Historicamente, foram utilizados muitos artifícios heurísticos na resolução de problemas geométricos cujas justificativas rigorosas pertencem à análise. Também alguns teoremas básicos da geometria necessitam de conceitos da análise para suas demonstrações rigorosas — exemplos disso são o teorema de Tales (que requer a continuidade da reta) e o princípio de Cavalieri (que requer a teoria das integrais por meio de limites).
Simetria como ponte entre diversas áreas
A ideia de simetria teve origem no estudo de geometria, e ao longo de sua história, a humanidade foi percebendo a presença de simetrias nas formas presentes na natureza: o sol, as folhas, as flores, os corpos dos humanos e de outros animais, os cristais de gelo, a neve, entre tantos outros exemplos de objetos com formas simétricas. E a medida que eram acumuladas mais observações (sabe-se que a simetria dos cristais de gelo já era bem conhecida na China no século X), cada vez mais a questão de como a simetria surgia na natureza intrigava os estudiosos. Ao longo da evolução da matemática, a noção de simetria se tornou uma das mais importantes noções, não apenas em geometria, mas em todas as áreas da matemática, e também na física —onde o entendimento de simetrias das leis da física fornece meios extremamente eficazes para a compreensão dos fenômenos regidos por tais leis. Os "argumentos de simetria" frequentemente fornecem atalhos e soluções elegantes para problemas matemáticos e físicos. Mas as ideias de simetria são influentes não apenas por fornecerem métodos para a resolução de problemas: o seu aspecto mais importante é que elas são peças-chaves em muitas das ligações entre os diferentes ramos das ciências. (ver também: Teorema de Noether)
Existem muitos problemas em aberto em geometria. Alguns dos quais podem ser entendidos por leigos, por exemplo:
