Espaço euclidiano
Espaço euclidiano é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno.
Uma maneira de se pensar no plano euclidiano é como um conjunto de pontos que satisfazem a determinadas relações, expressáveis em termos de distância e de ângulo. Por exemplo, há duas operações fundamentais no plano. Uma é a translação, que significa um deslocamento do plano de modo que cada ponto é deslocado no mesmo sentido e pela mesma distância. A outra é rotação em torno de um ponto fixo no plano, em que cada ponto no plano gira em torno desse ponto fixo através do mesmo ângulo. Um dos princípios básicos da geometria euclidiana é que duas figuras (isto é, subconjuntos) do plano são consideradas equivalentes (congruentes) se uma puder ser transformada na outra por alguma sequência das translações e rotações. Para se fazer tudo isso matematicamente preciso, deve-se definir claramente as noções de distância, ângulo, translação, e rotação. A maneira padrão para se fazer isso, como realizado no restante deste artigo, é definir o plano euclidiano como um espaço real vetorial bidimensional equipado com um produto interno. Para tanto:
Seja R {\displaystyle \mathbb {R} } o corpo de números reais. Para qualquer inteiro não-negativo n , {\displaystyle n,} o espaço de todos as n {\displaystyle n} -uplas de números reais forma um espaço vetorial n {\displaystyle n} -dimensional sobre R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} que é denotado R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} e às vezes chamado de espaço coordenado real. Um elemento de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é escrito como onde cada x i {\displaystyle x_{i}} é um número real. As operações do espaço vetorial em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} são definidas por O espaço vetorial R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} vem com uma base padrão (base canônica): Um vetor arbitrário em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} pode então ser escrito na forma R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é o exemplo perfeito de um espaço vetorial real n {\displaystyle n} -dimensional . Todo espaço vetorial real n {\displaystyle n} -dimensional V {\displaystyle V} é isomórfico a R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} Entretanto, esse isomorfismo não é canônico. Uma escolha do isomorfismo é equivalente a uma escolha da base para V {\displaystyle V} (olhando a imagem da base padrão para R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} em V {\displaystyle V} ). A razão para se trabalhar com espaços vetoriais arbitrários em vez de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é que geralmente é preferível trabalhar de uma maneira independente de coordenadas (isto é, sem escolher uma base preferida).
Q x ⋅ Q y = x ⋅ y {\displaystyle Qx\cdot Qy=x\cdot y} Sendo que os elementos de uma Q {\displaystyle Q} são exatamente soluções desta equação da matriz: Q T Q = Q Q T = I {\displaystyle Q^{T}Q=QQ^{T}=I} Aonde Q T {\displaystyle Q^{T}} é a transposta de Q {\displaystyle Q} e o I {\displaystyle I} é a matriz identidade. O movimento de rotação no espaço euclidiano deixa a distancia entre dois pontos inalterados após a transformação, porém para ser uma transformação tem que preservar a orientação da rotação ou senão será uma rotação imprópria se inverter sua orientação. Em duas dimensões somente é necessário saber o ângulo e o ponto de origem para saber a rotação. Já em três dimensões possui três variáveis livres: Ângulo de Euler, Ângulo do eixo e matriz. A reflexão funciona como uma isometria em um hiperplano com uma série de pontos fixos, que é denominado como eixo no R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} e como plano no R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . A reflexão funciona como um espelho que reflete, como um p para um q em um eixo vertical. Levando em consideração que se refletirmos novamente no mesmo eixo voltará ao ponto inicial como no caso anterior voltará a ser um p.
As coordenadas cartesianas são as mais utilizadas pois além de serem as mais simples para nossas compreensão a maior parte das coisas são pensadas sobre elas, porém não são a única forma de representar um espaço euclidiano. Existe também outras coordenadas como as representadas pelas combinações afins como as coordenadas baricêntricas. Essas coordenadas diferentes são completamente compatíveis, a diferença entre elas cabe à distâncias e angulações mais complexas que são descritas por fórmulas menos convencionais. Como dito as suas propriedades se mantém e respeitam as mesmas características, como por exemplo a ortogonalidade. Em ambos sistemas de coordenadas se mantém com mesmo aspecto de ser ortogonal à uma ou à demais retas ou planos.
