Equação
Na matemática, uma equação é uma igualdade envolvendo uma ou mais incógnitas de uma expressão algébrica.
Há muitas formas de se resolver equações, mas a principal ideia, quando as incógnitas são procuradas nos conjuntos dos números inteiros, racionais, reais ou mesmo complexos, é o fato de que o produto de números só é igual a zero se um dos fatores for igual a zero. Assim, para se resolver a equação 3 x 2 = 6 x {\displaystyle 3x^{2}=6x} , o método mais simples e eficiente é escrever: Logo, as soluções da equação são x = 0 {\displaystyle x=0} ou x = 2 {\displaystyle x=2} . O mesmo método pode ser aplicado a equações mais complexas.
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Diz-se que duas equações são equivalentes se elas têm as mesmas raízes (soluções). Por exemplo, considere as equações: A equação (i) admite as soluções reais x = 0 {\displaystyle x=0} e x = 2 {\displaystyle x=2} . As equações (ii) e (iii) admitem apenas a solução real x = 2 {\displaystyle x=2} . Assim sendo, a equação (i) não é equivalente, enquanto as equações (ii) e (iii) são equivalentes. Escrevemos Nem sempre é fácil encontrar as soluções (todas) de uma equação dada. O método de resolução mais elementar é a troca da equação dada por outra equivalente que seja mais simples.
Como transformar uma equação em outra equivalente
Dada uma equação, as seguintes operações podem ser efetuadas sem que se modifique o conjunto-solução: podemos adicionar -5 a ambos os membros da equação e obter: Vamos agora dividir cada lado da igualdade por 3 (isto é, multiplicar por 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} ) e chegar à solução procurada: Observe que a ordem com que efetuamos as operações é indiferente: Poderíamos ter começado multiplicando os dois lados da equação por 5: Subtraindo 25 de cada lado, obtemos outra equação ainda equivalente à primeira: Há outras transformações que podem ser feitas, mas que exigem um conhecimento mais profundo de funções e seus efeitos. Dada uma equação, pode-se aplicar uma função a ambos os lados, mas precisamos tomar cuidado pois o conjunto-solução pode ser alterado. Um exemplo simples é o seguinte. A equação
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Uma equação pode ter mais de uma incógnita, como por exemplo, a equação Se quisermos soluções apenas formadas por números inteiros positivos, encontramos exatamente oito soluções, a saber, os pares ( 0 , 7 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6 , 1 ) , ( 7 , 0 ) {\displaystyle (0,7),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(7,0)} . Se permitirmos números inteiros, encontraremos infinitas soluções. Além das soluções encontradas anteriormente, os pares ( − 1 , 8 ) , ( 10 , − 3 ) , ( 1007 , − 1000 ) {\displaystyle (-1,8),(10,-3),(1007,-1000)} são alguns exemplos neste caso. Se admitirmos soluções formadas por números reais, o conjunto das soluções da equação aumenta consideravelmente: o conjunto de todos os pares ordenados que satisfazem à equação pode ser representado no plano cartesiano por uma reta, mais precisamente, a reta determinada pelos pontos de coordenadas (0,7) e (7, 0).
As equações com uma incógnita mais simples são as chamadas equações lineares ou equações de 1º grau. São as equações equivalentes a a x + b = 0 {\displaystyle ax+b=0} em que as letras a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} representam números fixados (as constantes). O número a {\displaystyle a} é chamado coeficiente de x {\displaystyle x} . Equações lineares, se tiverem solução real, só terão uma. Equações quadráticas (equações de 2º grau) são as equações que podem ser colocadas na forma a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} por operações elementares. Essas equações podem ter até duas soluções reais distintas. Equações do terceiro grau, também chamadas equações cúbicas são as equações que podem ser colocadas na forma a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} . Tais equações possuem até três soluções reais distintas. Mais geralmente, equações polinomiais de grau n são as equações da forma
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Até aqui vimos exemplos de equações em que a(s) incógnita(s) era(m) número(s) (inteiro, racional, real, complexo). Mas há equações em que a incógnita pode ser outro objeto matemático, por exemplo, uma função. Por exemplo: As soluções dos sistemas de equações são interpretadas geometricamente como sendo os pontos de interseção dos entes geométricos determinados por cada equação. No exemplo dado, as soluções do sistema são os pontos de interseção da reta x − y = 7 {\displaystyle x-y=7} com a hipérbole x y = 30 {\displaystyle xy=30} , a saber, os pontos P e Q de coordenadas ( 10 , 3 ) {\displaystyle (10,3)} e ( − 3 , − 10 ) {\displaystyle (-3,-10)} , respectivamente.
