Supremo e ínfimo
Em matemática, definem-se os conceitos de majorante/cota superior, minorante/cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Embora estes conceitos estejam todos relacionados, são bem diferentes.
Seja S {\displaystyle S\,} , um subconjunto de um conjunto P {\displaystyle P\,} parcialmente ordenado pela relação ≤ {\displaystyle \leq \,} .
Se f : S → P {\displaystyle f:S\to P\,} é uma função de um conjunto S {\displaystyle S\,} em um conjunto parcialmente ordenado P {\displaystyle P\,} , então usa-se a notação:
Seja (A, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. A é dito completo se para todo conjunto B⊆A, B≠∅, se B tem majorante, então tem supremo. Este conceito não deve ser confundido com a completude lógica nem com a completude de uma teoria axiomática, pois são conceitos diferentes.
sup ( A + B ) = sup A + sup B {\displaystyle \sup(A+B)=\sup A+\sup B} e inf ( A + B ) = inf A + inf B {\displaystyle \inf(A+B)=\inf A+\inf B} . sup ( k A ) = { k sup A , if k ≥ 0 , k inf A , if k < 0 , {\displaystyle \sup(kA)={\begin{cases}k\sup A,&{\text{if }}k\geq 0,\\k\inf A,&{\text{if }}k<0,\end{cases}}} e inf ( k A ) = { k inf A , se k ≥ 0 , k sup A , se k < 0 , {\displaystyle \inf(kA)={\begin{cases}k\inf A,&{\text{se }}k\geq 0,\\k\sup A,&{\text{se }}k<0,\end{cases}}} onde k A = { k x : x ∈ A } . {\displaystyle kA=\{kx:x\in A\}.} (Ver Elon Lages Lima).
Considerando os reais estendidos, R e = R ∪ { − ∞ , + ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} _{e}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}} , podemos considerar:
Supremo e ínfimo do conjunto vazio
Ainda considerando os números reais estendidos, por completeza e a fim de manter a monotonicidade, definem-se o supremo e o ínfimo do conjunto vazio (quando este é visto como um subconjunto dos reais):
