Conjunto de partes
O conjunto de partes de um conjunto dado é a coleção de todos os seus subconjuntos possíveis. Ele é representado pela notação P(A) ou 𝒫(A).
Pontos-chave
- O conjunto de partes contém todos os subconjuntos de um conjunto original.
- Se um conjunto A tem n elementos, seu conjunto de partes P(A) tem 2^n elementos.
- A cardinalidade do conjunto de partes é sempre maior que a do conjunto original, mesmo para conjuntos infinitos.
- O axioma da potência garante a existência do conjunto de partes na teoria dos conjuntos.
- A hipótese do continuum questiona a existência de conjuntos com cardinalidade intermediária entre os naturais e o conjunto de partes dos naturais.
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Considere o conjunto S = {x, y, z}. Os subconjuntos possíveis são o conjunto vazio {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z} e {x, y, z}. Portanto, o conjunto de partes de S é o conjunto formado por esses oito subconjuntos.
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O número de elementos no conjunto de partes de um conjunto A é sempre maior que o número de elementos em A. Se A possui 'n' elementos, seu conjunto de partes, P(A), terá 2^n elementos. Para conjuntos infinitos, a cardinalidade de P(A) é definida como 2 elevado à cardinalidade de A. Por exemplo, 2 elevado à cardinalidade dos números naturais (ℵ₀) é igual à cardinalidade dos números reais (|ℝ|). A hipótese do continuum investiga se existem conjuntos com cardinalidade entre a dos números naturais e a do conjunto de partes dos números naturais.
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Na teoria dos conjuntos, especialmente na formulação de Zermelo-Fraenkel, o axioma da potência assegura a existência do conjunto de partes para qualquer conjunto dado.
